Exercice 18, § 4

Soit $C$ un anneau principal. On considère un système d’équations linéaires

dont les coefficients et les seconds membres appartiennent à $C$, et l’on désigne par $A$ la matrice $(\alpha_{ij})$ à $m$ lignes et $n$ colonnes, et par $B$ la matrice obtenue en bordant $A$ par la $(n + 1)$-ième colonne $(\beta_i)$. Montrer que, pour que le système admette au moins une solution $(\xi_i)$ dans $C^n$, il faut et il suffit que les conditions suivantes soient vérifiées : $1^\circ$ $A$ et $B$ ont même rang $p$; $2^\circ$ un pgcd des mineurs d’ordre $p$ de $A$ est égal à un pgcd des mineurs d’ordre $p$ de $B$ (utiliser la prop. 4 de VII, p. 20 et l’exerc. 9, c)).