Exercice 3, § 4

Soient $A$ un anneau principal, $K$ son corps des fractions, $E$ un espace vectoriel sur $K$, $M$ un $A$-module de type fini et de rang $n$ contenu dans $E$, $N$ un $A$-module de type fini et de rang $p \leq n$ contenu dans $KM$. Montrer qu’il existe une base $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ de $M$ et une base de $N$ formée des vecteurs $\alpha_i e_i$ ($1 \leq i \leq p$), où $\alpha_i \in K$ et $\alpha_i$ divise $\alpha_{i+1}$ (par rapport à l’anneau $A$) pour $1 \leq i \leq p-1$; montrer en outre que les idéaux fractionnaires $A \alpha_i$ sont déterminés de façon unique (facteurs invariants de $N$ par rapport à $M$).