Exercice 11, § 5

Soient $K$ un corps algébriquement clos, $A$ une matrice inversible sur $K$, $m$ un entier $> 0$. Montrer que, si $m$ n’est pas multiple de la caractéristique de $K$, il existe un polynôme $g(X) \in K[X]$ tel que $(g(A))^m = A$ (utiliser le th. de Hamilton-Cayley et l’exerc. 28 de VII, p. 53). Généraliser à l’équation $f(U) = A$ ($f \in K[X]$, $U$ matrice inconnue d’ordre $n$ sur $K$).