Exercice 14, § 5

Soient $K$ un corps imparfait, $p$ sa caractéristique, $a$ un élément de $K - K^p$, et $L$ le corps $K(a^{1/p})$. On considère le $K$-espace vectoriel $E = L \otimes_K L$; soit $u$ (resp. $u'$) le $K$-endomorphisme de $E$ donné par la multiplication par $a^{1/p} \otimes 1$ (resp. $1 \otimes a^{1/p}$) dans l’algèbre $E$. Montrer que $u$ et $u'$ sont semi-simples, que $u$ et $u'$ commutent, et que $u - u'$ est nilpotent non nul.