Exercice 3, § 19

Soit $(F, s)$ une K-algèbre cayleyenne (associative) semi-simple.

a) Prouver que la K-algèbre F est simple ou isomorphe au produit d’une algèbre simple et de l’algèbre opposée (considérer l’action de la conjugaison sur l’ensemble des idempotents centraux).

b) Si F n’est pas commutative, prouver qu’elle est isomorphe à une algèbre de quaternions sur K (utiliser l’exerc. 1).

c) Si F est commutative, prouver que l’on est dans l’un des cas suivants :

$\alpha ) F = K,s$ est l’identité ;

$\gamma ) F$ est une extension quadratique séparable de K et $s$ l’automorphisme non trivial de F ;

$\delta ) K$ est de caractéristique 2, F est une extension radicielle de hauteur un de K, et $s$ est l’identité.