Exercice 1, § 8

Soient A un anneau semi-simple, M un A-module de type fini. Pour tout sous-module N de M, on note $N'$ l’orthogonal de N dans $M^*$. Démontrer que l’orthogonal de $N'$ dans M est égal à N, et qu’on a long$_A(N) +$ long$_A(N') =$ long$_A(M)$. L’application $N\rightarrow N'$ est une bijection de l’ensemble des sous-modules de M sur ceux de $M^*$. Si L est un autre sous-module de M, l’orthogonal de $L\cap N$ est $L'+ N'$.