Exercice 5, § 8

a) Soit A un anneau semi-premier tel que tout ensemble d’idéaux à gauche monogènes admette un élément minimal. Démontrer que A est semi-simple (à l’aide de l’exerc. 7 de VIII, p. 126, construire des suites $(e_n)$ et $(f_n)$ d’idempotents de A telles que les idéaux $Ae_n$ soient minimaux et qu’on ait $Af_{n-1}= Ae_n\oplus Af_n$, et montrer que $f_n$ est nul pour $n$ assez grand).

b) Soient K un corps commutatif, V un espace vectoriel à droite de dimension infinie sur K et A la sous-K-algèbre de End$_K(V)$ engendrée par $1_V$ et les endomorphismes de rang fini. Démontrer que tout idéal à gauche de A contient un idéal minimal.