Exercice 6, § 8

Soit A une algèbre commutative semi-simple de rang fini sur un corps commutatif K, et soient $K_i(i\in I)$ ses facteurs simples, qui sont des extensions finies de K. Soient B une sous-algèbre de A et $E_j(j\in J)$ ses facteurs simples. Démontrer qu’il existe des parties non vides $(\Lambda_j)_{j\in J}$ de I, deux à deux sans élément commun, telles que $E_j$ s’injecte dans $\prod_{i\in\Lambda_j}K_i$ pour $j\in J$; pour tout $i\in \Lambda_j$, pr$_i$ induit un isomorphisme de $E_j$ sur un sous-corps $E_{ij}$ de $K_i$. Étudier la réciproque. En déduire que si chacun des $K_i$ est séparable sur K, A ne contient qu’un nombre fini de sous-algèbres (cf. V, p. 29, prop. 3).