Bourbaki

Exercice 1, § 1

Algèbre, X, p. 168

Soit

M⟶N→tP⟶Q↓u↓v↓w↓sM′⟶N′→t′P′⟶Q′ \begin{array}{ccccccc} M &\longrightarrow& N &\xrightarrow{t}& P &\longrightarrow& Q\\ \downarrow u && \downarrow v && \downarrow w && \downarrow s\\ M'&\longrightarrow&N'&\xrightarrow{t'}&P'&\longrightarrow&Q' \end{array}

un diagramme commutatif de AA-modules où les lignes sont exactes ; on suppose que uu est surjectif et ss injectif. Montrer que :

Ker⁡(w)=t(Ker⁡(v))Im⁡(v)=t′−1(Im⁡(w)). \operatorname{Ker}(w)=t(\operatorname{Ker}(v))\qquad \operatorname{Im}(v)={t'}^{-1}(\operatorname{Im}(w)).
Solution

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Transcrit du volume imprimé. Non traduit.