Exercice 10, § 1

a) Montrer qu'un module fidèlement plat est fidèle (II, p. 28). b) Le $\mathbf{Z}$-module Q est fidèle et plat, mais non fidèlement plat. c) Soit $(p_n)$ la suite strictement croissante des nombres premiers, et soit A l'anneau produit $\prod_n \mathbf{Z}/p_n \mathbf{Z}$. Montrer que la somme directe E des $\mathbf{Z}/p_n \mathbf{Z}$ est un A-module projectif fidèle qui n'est pas fidèlement plat (observer que E est un idéal de A tel que $E^2 = E$).