Exercice 6, § 1

Montrer qu’un $A$-module $E$ est plat si et seulement si il vérifie la condition suivante (cf. X, p. 15, remarque) :

$(ii')$ Pour toute famille finie $(c_i)_{i\in I}$ d’éléments de $A$, toute solution $e=(e_i)_{i\in I}$ de l’équation $\displaystyle\sum_{i\in I}c_i e_i=0$ peut s’écrire $b_1z_1+\cdots+b_nz_n$, où $b_1,\ldots,b_n\in E$ et où, pour $r=1,\ldots,n$, $z_r=(z_{r,i})_{i\in I}$ est une solution de l’équation $\displaystyle\sum_{i\in I}z_{r,i}c_i=0$.