Exercice 1, § 2

On suppose l’anneau A principal ; soit C un complexe de A-modules libres. a) Montrer que C est somme directe d’une famille de complexes $(^{p}E)_p \in \mathbf{Z}$ vérifiant : $^pE_n = 0$ pour $n \neq p$, $p - 1 ; Z_p(^pE) = 0$. b) On suppose de plus que $C_n$ est de type fini pour tout $n \in \mathbf{Z}$. Montrer que C est somme directe de complexes ayant seulement, soit une composante non nulle, soit deux composantes consécutives non nulles, ces composantes étant isomorphes à A.