Exercice 10, § 2

Algèbre, X, p. 174

Soient $u : C \to C'$ un morphisme de A-complexes, P un A-module projectif, $n$ un entier $\geqslant 0$ ,

h : P \to H_n(\mathrm{Con}\,(u))

un A-homomorphisme. Montrer qu’il existe un complexe $\tilde{C}$ , une suite exacte de complexes

0 \to C \xrightarrow{i} \tilde{C} \to P(-n) \to 0

et un morphisme $\tilde{u} : \tilde{C} \to C'$ tels que $\tilde{u} \circ i = u$ et que le morphisme $C(i) : \mathrm{Con}\,(u) \to \mathrm{Con}\,(\tilde{u})$ induit par $i$ vérifie les propriétés suivantes :

$\alpha)$ L’application $H_p(C(i)) : H_p(\mathrm{Con}\,(u)) \to H_p(\mathrm{Con}\,(\tilde{u}))$ est bijective pour $p \neq n, n+1$ ; $\beta)$ Il existe une suite exacte

0 \to H_{n+1}(\mathrm{Con}\,(u)) \xrightarrow{H_{n+1}(C(i))} H_{n+1}(\mathrm{Con}\,(\tilde{u})) \to P \xrightarrow{h} H_n(\mathrm{Con}\,(u)) \xrightarrow{H_n(C(i))} H_n(\mathrm{Con}\,(\tilde{u})) \to 0 .

Solution

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