Exercice 9, § 2

Algèbre, X, p. 173

Soit $u : C' \to C$ un morphisme de A-complexes. On note $v : C \to \mathrm{Coker}\,(u)$ l’application de passage au quotient. On considère les A-homomorphismes gradués

\alpha : (\mathrm{Ker}\,u)\ (-1) \to \mathrm{Con}\,(u) \quad \text{et} \quad \varphi : \mathrm{Con}\,(u) \to \mathrm{Coker}\,(u)

définis par $\alpha(x') = (x', 0)$ , $\varphi(x', x) = v(x)$ pour $x' \in C'$ , $x \in C$ . Montrer que $\alpha, \varphi$ sont des morphismes de complexes et qu’ils donnent lieu à une suite exacte

\cdots \to H_{n-1}(\mathrm{Ker}\,u) \xrightarrow{H(\alpha)} H_n(\mathrm{Con}\,(u)) \xrightarrow{H(\varphi)} H_n(\mathrm{Coker}\,u) \xrightarrow{\delta} H_{n-2}(\mathrm{Ker}\,u) \to \cdots

où $\delta$ est le composé des homomorphismes de liaison relatifs aux deux suites exactes

0 \to \mathrm{Ker}\,u \to C' \to \mathrm{Im}\,u \to 0 \quad \text{et} \quad 0 \to \mathrm{Im}\,u \to C \to \mathrm{Coker}\,u \to 0 .

Solution

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