Exercice 10, § 3

Soit $E$ un $A$-module. On dit que $E$ est pseudo-cohérent si tout sous-module de type fini de $E$ est de présentation finie ; tout sous-module d’un module pseudo-cohérent est pseudo-cohérent. On dit que $E$ est cohérent s’il est pseudo-cohérent et de type fini (donc de présentation finie). a) Soit $0 \to E' \to E \to E'' \to 0$ une suite exacte de $A$-modules. Montrer que, si $E$ est pseudo-cohérent (resp. cohérent) et $E'$ de type fini, $E''$ est pseudo-cohérent (resp. cohérent). Montrer que, si $E'$ et $E''$ sont pseudo-cohérents (resp. cohérents), il en est de même de $E$. Montrer que, si $E$ et $E''$ sont cohérents, il en est de même de $E'$ (utiliser $X$, p. 11, prop. 6). b) Soient $E$ un $A$-module cohérent, $E'$ un $A$-module pseudo-cohérent (resp. cohérent). Montrer que, pour tout homomorphisme $u : E \to E'$, $\mathrm{Im}\,(u)$ et $\mathrm{Ker}\,(u)$ sont cohérents et $\mathrm{Coker}\,(u)$ pseudo-cohérent (resp. cohérent) (utiliser a). c) Montrer que toute somme directe (resp. toute somme directe finie) de modules pseudo-cohérents (resp. cohérents) est un module pseudo-cohérent (resp. cohérent). d) Si $E$ est un module pseudo-cohérent et si $M, N$ sont des sous-modules cohérents de $E$, montrer que $M + N$ et $M \cap N$ sont cohérents (utiliser a et c). e) On suppose $A$ commutatif. Montrer que, si $E$ est un $A$-module cohérent et $F$ un $A$-module cohérent (resp. pseudo-cohérent), $\mathrm{Hom}_A(E, F)$ est un $A$-module cohérent (resp. pseudo-cohérent). (Se ramener au cas où $F$ est cohérent ; considérer une présentation finie de $E$, puis utiliser b.)