Bài tập 10, § 3

Cho $E$ là một $A$-môđun. Ta nói rằng $E$ là giả khớp nếu mọi môđun con sinh hữu hạn của $E$ đều có biểu diễn hữu hạn; mọi môđun con của một môđun giả khớp đều là giả khớp. Ta nói rằng $E$ là khớp nếu nó là giả khớp và có kiểu hữu hạn (do đó có biểu diễn hữu hạn). a) Cho $0 \to E' \to E \to E'' \to 0$ là một dãy khớp của các $A$-môđun. Chứng minh rằng, nếu $E$ là giả khớp (tương ứng khớp) và $E'$ có kiểu hữu hạn, thì $E''$ là giả khớp (tương ứng khớp). Chứng minh rằng, nếu $E'$ và $E''$ là giả khớp (tương ứng khớp), thì $E$ cũng có tính chất đó. Chứng minh rằng, nếu $E$ và $E''$ là khớp, thì $E'$ cũng có tính chất đó (dùng $X$, p. 11, mệnh đề 6). b) Cho $E$ là một $A$-môđun khớp, và cho $E'$ là một $A$-môđun giả khớp (tương ứng khớp). Chứng minh rằng, với mọi đồng cấu $u : E \to E'$, $\mathrm{Im}\,(u)$ và $\mathrm{Ker}\,(u)$ là khớp và $\mathrm{Coker}\,(u)$ là giả khớp (tương ứng khớp) (dùng a). c) Chứng minh rằng mọi tổng trực tiếp (tương ứng mọi tổng trực tiếp hữu hạn) của các môđun giả khớp (tương ứng khớp) là một môđun giả khớp (tương ứng khớp). d) Nếu $E$ là một môđun giả khớp và nếu $M, N$ là các môđun con khớp của $E$, chứng minh rằng $M + N$ và $M \cap N$ là khớp (dùng a và c). e) Giả sử rằng $A$ là giao hoán. Chứng minh rằng, nếu $E$ là một $A$-môđun khớp và $F$ là một $A$-môđun khớp (tương ứng giả khớp), thì $\mathrm{Hom}_A(E, F)$ là một $A$-môđun khớp (tương ứng giả khớp). (Rút gọn về trường hợp $F$ là khớp; xét một biểu diễn hữu hạn của $E$, rồi dùng b.)