Exercice 11, § 3

a*) Soit $A$ un anneau. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : $\alpha$ Le $A$-module $A_s$ est cohérent (exercice 10). $\beta$ Tout $A$-module de présentation finie est cohérent. $\gamma$ Pour tout $A$-module à droite $M$ de présentation finie, le dual $M^*$ est un $A$-module de type fini. $\delta$ Pour tout ensemble $I$, le $A$-module à droite $A_d^I$ est plat. $\varepsilon$ Tout produit de $A$-modules à droite plats est plat. (Pour prouver que $\alpha$ entraîne $\beta$), utiliser l’exercice 10, b). Pour voir que $\delta$ entraîne $\gamma$), utiliser $X$, p. 14, th. 1 ; pour montrer que $\alpha$ entraîne $\varepsilon$), utiliser $X$, p. 170, exercice 18.) On dit qu’un anneau vérifiant ces propriétés est cohérent à gauche (ou simplement cohérent), et on définit de même la notion d’anneau cohérent à droite. b) Montrer qu’un anneau noethérien (à gauche) est cohérent. Donner un exemple d’anneau artinien à droite qui n’est pas cohérent (cf. VIII, § 1, exercice 4). c) Montrer qu’un anneau absolument plat ($X$, p. 169, exercice 16) est cohérent. d) Montrer que, si $A$ est un anneau cohérent et $M$ un $A$-module, on a $\lambda(M) = -1$ ou $\lambda(M) = 0$ ou $\lambda(M) = +\infty$ (exercice 6). En particulier, tout $A$-module de présentation finie admet une résolution par des modules libres de type fini. e) Soit $(A_\alpha, \varphi_{\beta\alpha})$ un système inductif d’anneaux dont l’ensemble d’indices est filtrant, et soit $A = \varprojlim A_\alpha$. On suppose que pour $\alpha \leqslant \beta$, $A_\beta$ est un $A_\alpha$-module à droite plat. Montrer que si les $A_\alpha$ sont cohérents, il en est de même de $A$. (Observer que $A$ est un $A_\alpha$-module à droite plat pour tout $\alpha$, et que pour tout idéal à gauche $a \subset A$, de type fini, il existe un indice $\alpha$ et un idéal $a_\alpha$ de $A$ tels que $a$ soit isomorphe à $A \otimes_A a_\alpha$.) f) Déduire de e) que tout anneau de polynômes (pour un ensemble fini ou infini quelconque d’indéterminées) sur un anneau commutatif noethérien est cohérent. En déduire qu’un anneau quotient d’un anneau cohérent n’est pas nécessairement cohérent. g) Pour que $A$ soit cohérent à gauche, il faut et il suffit que l’annulateur à gauche de tout élément de $A$ soit de type fini, et que l’intersection de deux idéaux à gauche de type fini soit de type fini (utiliser l’exercice 6, f)).