Bài tập 11, § 3

a*) Cho $A$ là một vành. Bây giờ chứng minh rằng các tính chất sau là tương đương: $\alpha$ A-môđun $A_s$ là coherent (bài tập 10). $\beta$ Mọi $A$-môđun sinh hữu hạn với biểu diễn hữu hạn đều là coherent. $\gamma$ Đối với mọi $A$-môđun phải $M$ có biểu diễn hữu hạn, đối ngẫu $M^*$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn. $\delta$ Với mọi tập hợp $I$, $A$-môđun phải $A_d^I$ là phẳng. $\varepsilon$ Mọi tích của các $A$-môđun phải phẳng đều là phẳng. (Để chứng minh rằng $\alpha$ kéo theo $\beta$), dùng bài tập 10, b). Để thấy rằng $\delta$ kéo theo $\gamma$), dùng $X$, p. 14, th. 1; để chứng minh rằng $\alpha$ kéo theo $\varepsilon$), dùng $X$, p. 170, bài tập 18.) Một vành thỏa mãn các tính chất này được gọi là coherent trái (hoặc đơn giản là coherent), và ta định nghĩa tương tự khái niệm vành coherent phải. b) Bây giờ chứng minh rằng một vành Noether (trái) là coherent. Cho một ví dụ về một vành Artin phải không coherent (cf. VIII, § 1, bài tập 4). c) Bây giờ chứng minh rằng một vành phẳng tuyệt đối ($X$, p. 169, bài tập 16) là coherent. d) Bây giờ chứng minh rằng, nếu $A$ là một vành coherent và $M$ là một $A$-môđun, ta có $\lambda(M) = -1$ hoặc $\lambda(M) = 0$ hoặc $\lambda(M) = +\infty$ (bài tập 6). Đặc biệt, mọi $A$-môđun có biểu diễn hữu hạn đều có một giải bởi các môđun tự do sinh hữu hạn. e) Cho $(A_\alpha, \varphi_{\beta\alpha})$ là một hệ quy nạp các vành mà tập hợp các chỉ số của nó là lọc, và cho $A = \varprojlim A_\alpha$. Giả sử rằng với $\alpha \leqslant \beta$, $A_\beta$ là một $A_\alpha$-môđun phải phẳng. Bây giờ chứng minh rằng nếu các $A_\alpha$ là coherent thì điều tương tự đúng với $A$. (Lưu ý rằng $A$ là một $A_\alpha$-môđun phải phẳng với mọi $\alpha$, và rằng với mọi iđêan trái $a \subset A$, thuộc kiểu hữu hạn, tồn tại một chỉ số $\alpha$ và một iđêan trái $a_\alpha$ của $A$ sao cho $a$ đẳng cấu với $A \otimes_A a_\alpha$.) f) Suy ra từ e) rằng mọi vành đa thức (trên một tập hữu hạn hoặc tùy ý vô hạn các phần tử bất định) trên một vành giao hoán Noether là coherent. Suy ra từ điều này rằng một vành thương của một vành coherent không nhất thiết là coherent. g) Để $A$ là coherent trái, điều kiện cần và đủ là linh hóa tử trái của mọi phần tử của $A$ có kiểu hữu hạn, và giao của hai iđêan trái có kiểu hữu hạn là có kiểu hữu hạn (dùng bài tập 6, f)).