Exercice 15, § 3

Soient A un anneau local nothérien, m son idéal maximal, $k = A/m$. Soit P une résolution projective minimale du A-module k ; pour $n \geqslant 0$, on note $b_n$ le rang du A-module libre $P_n$. a) Montrer qu'on a $b_0 = 1$ et que $b_1 = \dim_k(m/m^2)$ est le nombre minimal de générateurs de m. b) Si A est commutatif, on a $b_2 \geqslant \frac{1}{2} b_1(b_1 - 1)$ (considérer la suite exacte $P_2 \to mP_1 \to m^2 \to 0$). c) On suppose l'anneau A artinien (non nécessairement commutatif). Démontrer l'inégalité $b_2 \geqslant \frac{1}{4} b_1^2$ (soit $M_t$ le sous-module de $P_2$ formé des éléments x tels que $d_2(x) \in m^t P_1$; montrer que l'on a

et qu'il existe une suite exacte $0 \to M_t/M_{t+1} \to m^t P_1/m^{t+1} P_1 \to m^{t+1}/m^{t+2} \to 0$. En déduire que le polynôme $p(t) = \sum_l (\dim_k(m^l/m^{l+1})) t^l$ vérifie $(b_2 t^2 - b_1 t + 1) p(t) \geqslant 0$ pour $0 \leqslant t \leqslant 1$. Conclure en examinant séparément les cas $b_1 = 1, b_1 \geqslant 2$.