Bài tập 15, § 3

Cho $A$ là một vành địa phương Noether, $m$ là iđêan cực đại của nó, $k = A/m$. Cho $P$ là một giải xạ ảnh cực tiểu của A-môđun $k$; với $n \geqslant 0$, ký hiệu $b_n$ là hạng của A-môđun tự do $P_n$. (a) Chứng minh rằng ta có $b_0 = 1$ và rằng $b_1 = \dim_k(m/m^2)$ là số cực tiểu các phần tử sinh của $m$. (b) Nếu $A$ giao hoán, ta có $b_2 \geqslant \frac{1}{2} b_1(b_1 - 1)$ (xét dãy khớp $P_2 \to mP_1 \to m^2 \to 0$). (c) Giả sử rằng vành $A$ là Artin (không nhất thiết giao hoán). Chứng minh bất đẳng thức $b_2 \geqslant \frac{1}{4} b_1^2$ (gọi $M_t$ là môđun con của $P_2$ tạo bởi các phần tử x sao cho $d_2(x) \in m^t P_1$; chứng minh rằng ta có

và rằng tồn tại một dãy khớp $0 \to M_t/M_{t+1} \to m^t P_1/m^{t+1} P_1 \to m^{t+1}/m^{t+2} \to 0$. Suy ra rằng đa thức $p(t) = \sum_l (\dim_k(m^l/m^{l+1})) t^l$ thỏa mãn $(b_2 t^2 - b_1 t + 1) p(t) \geqslant 0$ với $0 \leqslant t \leqslant 1$. Kết luận bằng cách xét riêng các trường hợp $b_1 = 1, b_1 \geqslant 2$.