Bourbaki

Exercice 16, § 3

Algèbre, X, p. 182

a) Soient 0→M′→M→M′′→00 \to M' \to M \to M'' \to 0 une suite exacte de A-modules, (P', p') (resp. (P'', p'')) une résolution projective de M' (resp. M''). Montrer qu'il existe une résolution projective (P, p) de M et un diagramme commutatif :

0→P′→P→P′′→0↓p′↓p↓p′′0→M′→M→M′′→0 \begin{array}{ccccccccc} 0 & \to & P' & \to & P & \to & P'' & \to & 0 \\ & & \downarrow p' & & \downarrow p & & \downarrow p'' & & \\ 0 & \to & M' & \to & M & \to & M'' & \to & 0 \end{array}
où les lignes horizontales sont exactes. b) Soient 0→N′→N→N′′→00 \to N' \to N \to N'' \to 0 une seconde suite exacte de A-modules, (Q, q) (resp. (Q', q'), resp. (Q'', q'')) une résolution projective de N (resp. N', resp. N''), de façon qu'il existe un diagramme commutatif à lignes exactes :
0→Q′→Q→Q′′→0↓q′↓q↓q′′0→N′→N→N′′→0 \begin{array}{ccccccccc} 0 & \to & Q' & \to & Q & \to & Q'' & \to & 0 \\ & & \downarrow q' & & \downarrow q & & \downarrow q'' & & \\ 0 & \to & N' & \to & N & \to & N'' & \to & 0 \end{array}
Soit d'autre part :
0→M′→M→M′′→0↓u′↓u↓u′′0→N′→N→N′′→0. \begin{array}{ccccccccc} 0 & \to & M' & \to & M & \to & M'' & \to & 0 \\ & & \downarrow u' & & \downarrow u & & \downarrow u'' & & \\ 0 & \to & N' & \to & N & \to & N'' & \to & 0 . \end{array}
un diagramme commutatif de suites exactes, et soient u~′:P′→Q′\tilde{u}' : P' \to Q' et u~′′:P′′→Q′′\tilde{u}'' : P'' \to Q'' des morphismes de complexes tels que u′∘p′=q′∘u~′u' \circ p' = q' \circ \tilde{u}' et u′′∘p′′=q′′∘u~′′u'' \circ p'' = q'' \circ \tilde{u}''. Montrer qu'il existe un morphisme u~:P→Q\tilde{u} : P \to Q tel que u∘p=q∘u~u \circ p = q \circ \tilde{u} et que le diagramme :
0→P′→P→P′′→0↓u~′↓u~↓u~′′0→Q′→Q→Q′′→0 \begin{array}{ccccccccc} 0 & \to & P' & \to & P & \to & P'' & \to & 0 \\ & & \downarrow \tilde{u}' & & \downarrow \tilde{u} & & \downarrow \tilde{u}'' & & \\ 0 & \to & Q' & \to & Q & \to & Q'' & \to & 0 \end{array}
soit commutatif.

c) Soient u~1′:P′→Q′,u~1:P→Q\tilde{u}_1' : P' \to Q', \tilde{u}_1 : P \to Q et u~1′′:P′′→Q′′\tilde{u}_1'' : P'' \to Q'' trois morphismes de complexes tels que

u′∘p′=q′∘u~1′,u∘p=q∘u~1,u′′∘p′′=q′′∘u~1′′ u' \circ p' = q' \circ \tilde{u}_1', \quad u \circ p = q \circ \tilde{u}_1, \quad u'' \circ p'' = q'' \circ \tilde{u}_1''
et rendant le diagramme (*) commutatif ; soit s′s' (resp. s′′s'') une homotopie reliant u~′\tilde{u}' à u~1′\tilde{u}_1' (resp. u~′′\tilde{u}'' à u~1′′\tilde{u}_1''). Montrer qu’il existe une homotopie ss reliant u~\tilde{u} à u~1\tilde{u}_1, telle que le diagramme :

0→P′→P→P′′→0↓s′↓s↓s′′0→Q′→Q→Q′′→0 \begin{array}{ccccccccc} 0 & \to & P' & \to & P & \to & P'' & \to & 0 \\ & & \downarrow^{s'} & & \downarrow^s & & \downarrow^{s''} & & \\ 0 & \to & Q' & \to & Q & \to & Q'' & \to & 0 \end{array}

soit commutatif.

d) Enoncer et démontrer les résultats correspondant à a),b),c)a), b), c) pour des résolutions injectives.

Solution

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