Bài tập 16, § 3

a) Cho $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ là một dãy khớp của các A-môđun, (P', p') (tương ứng (P'', p'')) là một phép giải xạ ảnh của M' (tương ứng M''). Bây giờ chứng minh rằng tồn tại một phép giải xạ ảnh (P, p) của M và một biểu đồ giao hoán:

trong đó các dòng ngang là khớp. b) Cho $0 \to N' \to N \to N'' \to 0$ là một dãy khớp thứ hai của các A-môđun, (Q, q) (tương ứng (Q', q'), tương ứng (Q'', q'')) là một phép giải xạ ảnh của N (tương ứng N', tương ứng N''), sao cho tồn tại một biểu đồ giao hoán với các dòng khớp: Mặt khác, cho: là một biểu đồ giao hoán của các dãy khớp, và cho $\tilde{u}' : P' \to Q'$ và $\tilde{u}'' : P'' \to Q''$ là các cấu xạ của các phức sao cho $u' \circ p' = q' \circ \tilde{u}'$ và $u'' \circ p'' = q'' \circ \tilde{u}''$. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại một cấu xạ $\tilde{u} : P \to Q$ sao cho $u \circ p = q \circ \tilde{u}$ và biểu đồ: là giao hoán.

c) Cho $\tilde{u}_1' : P' \to Q', \tilde{u}_1 : P \to Q$ và $\tilde{u}_1'' : P'' \to Q''$ là ba cấu xạ của các phức sao cho

và làm cho biểu đồ (*) giao hoán; cho $s'$ (tương ứng $s''$) là một đồng luân nối $\tilde{u}'$ với $\tilde{u}_1'$ (tương ứng $\tilde{u}''$ với $\tilde{u}_1''$). Bây giờ chứng minh rằng tồn tại một đồng luân $s$ nối $\tilde{u}$ với $\tilde{u}_1$, sao cho biểu đồ: là giao hoán.

d) Phát biểu và chứng minh các kết quả tương ứng với $a), b), c)$ cho các phép giải đơn ánh.