Exercice 17, § 3

Dans cet exercice, si $(\mathbf{K}, d', d'')$ est un bicomplexe (X, p. 174, exercice 11), on notera $\mathbf{K}_{p,*}$ le complexe $(\bigoplus_n \mathbf{K}_{p,n}, d'')$. Tout complexe sera considéré comme un bicomplexe, nul en degré $(p, q)$ pour $q \neq 0$.

Soit $C$ un complexe de $A$-modules. Une résolution projective de $C$ est un couple $(P, p)$, où $P$ est un bicomplexe et $p : P \to C$ un morphisme de bicomplexes, tel que $P_{p,q} = 0$ pour $q < 0$ et que le complexe $P_{p,*}$ (resp. $Z'_{p,*}(P), B'_{p,*}(P), H'_{p,*}(P)$) définisse une résolution projective de $C_p$ (resp. $Z_p(C), B_p(C), H_p(C)$) pour tout $p \in \mathbf{Z}$. Pour que $(P, p)$ soit une résolution projective de $C$, il suffit que les complexes $B'_{p,*}(P)$ et $H'_{p,*}(P)$ définissent pour tout $p$ des résolutions projectives de $B_p(C)$ et $H_p(C)$.

a) Montrer que tout $A$-complexe $C$ admet une résolution projective (choisir pour tout $p$ des résolutions projectives $B_{p,*}$ et $H_{p,*}$ de $B_p(C)$ et $H_p(C)$; en utilisant l’exercice 16, construire des résolutions projectives $Z_{p,*}$ de $Z_p(C)$ et $P_{p,*}$ de $C_p$ ainsi que des suites exactes :

b) Soient $C'$ un autre complexe, $(P', p')$ une résolution projective de $C'$, $u : C \to C'$ un morphisme de complexes. Montrer qu’il existe un morphisme de bicomplexes $\tilde{u} : P \to P'$ tel que $u \circ p = p' \circ \tilde{u}$ (pour tout $p \in \mathbf{Z}$, choisir des morphismes $B'_{p,*}(P) \to B'_{p,*}(P')$ et $H'_{p,*}(P) \to H'_{p,*}(P')$; construire $\tilde{u}$ comme précédemment, en utilisant l’exercice 16, b)).

c) Soit $v : C \to C'$ un morphisme de complexes homotope à $u$, et soit $\tilde{v} : P \to P'$ un morphisme de bicomplexes tel que $v \circ p = p' \circ \tilde{v}$. Montrer que $\tilde{u}$ et $\tilde{v}$ sont homotopes (au sens de X, p. 174, exercice 11, c); utiliser l’exercice 16, c)).

d) Soient $E$ un sous-ensemble de $\mathbf{Z}$, $C$ un $A$-complexe tel que $C_p = 0$ pour $p \in E$. Montrer qu’il existe une résolution projective $(P, p)$ de $C$ telle que $P_{p,q} = 0$ pour $p \in E$.

e) On suppose qu’il existe un entier $n$ tel que tout $A$-module admette une résolution projective de longueur $\leq n$. Montrer que tout $A$-complexe $C$ admet une résolution projective $(P, p)$ telle que $P_{p,q} = 0$ pour $q > n$.

f) Soit $C$ un $A$-complexe. Une résolution injective de $C$ est un couple $(e, 1)$, où $1$ est un bicomplexe et $e : C \to 1$ un morphisme de bicomplexes, tel que $1^{p,q} = 0$ pour $q < 0$ et que le complexe $I^{p,*}$ (resp. $'Z^{p,*}(1), 'B^{p,*}(1), 'H^{p,*}(1)$) définisse une résolution injective de $C^p$ (resp. $Z^p(C), B^p(C), H^p(C)$) pour tout $p \in \mathbf{Z}$. Enoncer et démontrer les analogues des résultats a) à e) pour les résolutions injectives.