Bài tập 17, § 3

Trong bài tập này, nếu $(\mathbf{K}, d', d'')$ là một phức song (X, p. 174, bài tập 11), ta sẽ ký hiệu bởi $\mathbf{K}_{p,*}$ phức $(\bigoplus_n \mathbf{K}_{p,n}, d'')$. Mọi phức sẽ được xem như một phức song, bằng không ở bậc $(p, q)$ với $q \neq 0$.

Cho $C$ là một phức các $A$-môđun. Một phân giải xạ ảnh của $C$ là một cặp $(P, p)$, trong đó $P$ là một phức song và $p : P \to C$ là một cấu xạ của các phức song, sao cho $P_{p,q} = 0$ với $q < 0$ và phức $P_{p,*}$ (tương ứng $Z'_{p,*}(P), B'_{p,*}(P), H'_{p,*}(P)$) xác định một phân giải xạ ảnh của $C_p$ (tương ứng $Z_p(C), B_p(C), H_p(C)$) với mọi $p \in \mathbf{Z}$. Để $(P, p)$ là một phân giải xạ ảnh của $C$, chỉ cần các phức $B'_{p,*}(P)$ và $H'_{p,*}(P)$ xác định, với mọi $p$, các phân giải xạ ảnh của $B_p(C)$ và $H_p(C)$.

(a) Bây giờ chứng minh rằng mọi $A$-phức $C$ đều thừa nhận một phân giải xạ ảnh (chọn với mỗi $p$ các phân giải xạ ảnh $B_{p,*}$ và $H_{p,*}$ của $B_p(C)$ và $H_p(C)$; sử dụng bài tập 16, xây dựng các phân giải xạ ảnh $Z_{p,*}$ của $Z_p(C)$ và $P_{p,*}$ của $C_p$ cũng như các dãy khớp:

(b) Cho $C'$ là một phức khác, $(P', p')$ là một phân giải xạ ảnh của $C'$, $u : C \to C'$ là một cấu xạ của các phức. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại một cấu xạ của các phức song $\tilde{u} : P \to P'$ sao cho $u \circ p = p' \circ \tilde{u}$ (với mỗi $p \in \mathbf{Z}$, chọn các cấu xạ $B'_{p,*}(P) \to B'_{p,*}(P')$ và $H'_{p,*}(P) \to H'_{p,*}(P')$; xây dựng $\tilde{u}$ như trước, sử dụng bài tập 16, b)).

(c) Cho $v : C \to C'$ là một cấu xạ của các phức đồng luân với $u$, và cho $\tilde{v} : P \to P'$ là một cấu xạ của các phức song sao cho $v \circ p = p' \circ \tilde{v}$. Bây giờ chứng minh rằng $\tilde{u}$ và $\tilde{v}$ đồng luân (theo nghĩa của X, p. 174, bài tập 11, c); sử dụng bài tập 16, c)).

d) Cho $E$ là một tập con của $\mathbf{Z}$, $C$ là một $A$-phức sao cho $C_p = 0$ với $p \in E$. Chứng minh rằng tồn tại một giải xạ ảnh $(P, p)$ của $C$ sao cho $P_{p,q} = 0$ với $p \in E$.

e) Giả sử tồn tại một số nguyên $n$ sao cho mọi $A$-môđun đều thừa nhận một giải xạ ảnh có độ dài $\leq n$. Chứng minh rằng mọi $A$-phức $C$ đều thừa nhận một giải xạ ảnh $(P, p)$ sao cho $P_{p,q} = 0$ với $q > n$.

f) Cho $C$ là một $A$-phức. Một giải đơn ánh của $C$ là một cặp $(e, 1)$, trong đó $1$ là một song phức và $e : C \to 1$ là một cấu xạ của các song phức, sao cho $1^{p,q} = 0$ với $q < 0$ và sao cho phức $I^{p,*}$ (tương ứng. $'Z^{p,*}(1), 'B^{p,*}(1), 'H^{p,*}(1)$) xác định một giải đơn ánh của $C^p$ (tương ứng. $Z^p(C), B^p(C), H^p(C)$) với mọi $p \in \mathbf{Z}$. Phát biểu và chứng minh các kết quả tương tự của các kết quả a) đến e) đối với các giải đơn ánh.