Exercice 18, § 3

On suppose l’anneau $A$ commutatif. Une $A$-algèbre différentielle graduée est une $A$-algèbre $S$, graduée de type $\mathbf{Z}$, telle que $S_n = 0$ pour $n < 0$, munie d’une antidérivation $d$ de degré $(-1)$, vérifiant $d \circ d = 0$. On notera encore $S$ le complexe de $A$-modules $(S, d)$.

a) Soit $C$ un complexe de $A$-modules, nul en degrés $< 0$. Montrer qu’il existe sur $S = T(C)$ (resp. $S = S(C)$, resp. $S = \Lambda(C)$) une structure de $A$-algèbre différentielle graduée, telle que l’injection canonique de $C$ dans $S$ soit un morphisme de complexes.

b) Montrer que la multiplication de $S$ induit une structure de $A$-algèbre graduée sur $H(S)$.

c) Soient $S, T$ deux $A$-algèbres différentielles graduées. On pose $D(s \otimes t) = ds \otimes t + (-1)^p s \otimes dt$ pour $s \in S_p, t \in T$. Montrer que $D$ définit une structure de $A$-algèbre différentielle graduée sur le produit tensoriel gauche $S \otimes_A T$ (III, p. 49).