Bài tập 18, § 3

Ta giả sử rằng vành $A$ là giao hoán. Một đại số $A$ phân bậc vi phân là một $A$-đại số $S$, phân bậc kiểu $\mathbf{Z}$, sao cho $S_n = 0$ với $n < 0$, được trang bị một phép đạo hàm phản $d$ có bậc $(-1)$, thỏa mãn $d \circ d = 0$. Ta vẫn ký hiệu bởi $S$ phức các $A$-môđun $(S, d)$.

a) Cho $C$ là một phức các $A$-môđun, không trong các bậc $< 0$. Chứng minh rằng tồn tại trên $S = T(C)$ (tương ứng $S = S(C)$, tương ứng $S = \Lambda(C)$) một cấu trúc đại số $A$ phân bậc vi phân, sao cho đơn ánh chính tắc của $C$ vào $S$ là một cấu xạ của các phức.

b) Chứng minh rằng phép nhân của $S$ cảm sinh một cấu trúc đại số $A$ phân bậc trên $H(S)$.

c) Cho $S, T$ là hai đại số $A$ phân bậc vi phân. Ta đặt $D(s \otimes t) = ds \otimes t + (-1)^p s \otimes dt$ với $s \in S_p, t \in T$. Chứng minh rằng $D$ xác định một cấu trúc đại số $A$ phân bậc vi phân trên tích tenxơ trái $S \otimes_A T$ (III, p. 49).