Exercice 2, § 3

Algèbre, X, p. 178

On suppose l’anneau A commutatif. Soit B une A-algèbre ; pour $n\geq0$ , on note $\mathscr A^n(B)$ le produit tensoriel sur A de $(n+1)$ modules égaux à B. On pose $\mathscr A^n(B)=0$ pour $n<0$ et $\mathscr A(B)=\bigoplus_n\mathscr A^n(B)$ .

EXERCICES

définit un A-endomorphisme d gradué de degré ascendant + 1 de $\mathscr{A}(B)$ en posant :

d(b_0 \otimes \cdots \otimes b_n) = \sum_{i=0}^{n+1} (-1)^i b_0 \otimes \cdots \otimes b_{i-1} \otimes 1_B \otimes b_i \otimes \cdots \otimes b_n \quad \text{pour } b_0, \ldots, b_n \in B .

a) Montrer que $d \circ d = 0$ , de sorte que $(\mathscr{A}(B), d)$ est un complexe de A-modules. Si M est un A-module, on note $\mathscr{A}(B, M)$ le complexe tel que $\mathscr{A}''(B, M) = \mathscr{A}''(B) \otimes_A M$ , de différentielle $d \otimes 1_M$ .

b) On suppose que l’algèbre B est un A-module fidèlement plat (X, p. 169, exercice 9). Montrer que le complexe $\mathscr{A}(B, M)$ définit une résolution droite du A-module M. (Il suffit de vérifier que le complexe $B \otimes_A \mathscr{A}(B, M)$ définit une résolution de $B \otimes_A M$ ; construire un homotopisme A-linéaire entre ces deux complexes.)

Solution

Aucune solution n’a encore été écrite.