Bài tập 2, § 3

Đại số, X, p. 178

Ta giả sử rằng vành A là giao hoán. Cho B là một đại số trên A; với $n\geq0$ , ta ký hiệu $\mathscr A^n(B)$ là tích tenxơ trên A của $(n+1)$ môđun bằng B. Ta đặt $\mathscr A^n(B)=0$ với $n<0$ và $\mathscr A(B)=\bigoplus_n\mathscr A^n(B)$ .

BÀI TẬP

định nghĩa một tự đồng cấu A phân bậc d bậc +1 của $\mathscr{A}(B)$ bằng cách đặt:

d(b_0 \otimes \cdots \otimes b_n) = \sum_{i=0}^{n+1} (-1)^i b_0 \otimes \cdots \otimes b_{i-1} \otimes 1_B \otimes b_i \otimes \cdots \otimes b_n \quad \text{cho } b_0, \ldots, b_n \in B .

a) Chứng minh rằng $d \circ d = 0$ , sao cho $(\mathscr{A}(B), d)$ là một phức của các A-môđun. Nếu M là một A-môđun, ta ký hiệu $\mathscr{A}(B, M)$ là phức sao cho $\mathscr{A}''(B, M) = \mathscr{A}''(B) \otimes_A M$ , với vi phân $d \otimes 1_M$ .

b) Giả sử rằng đại số B là một A-môđun phẳng trung thành (X, p. 169, bài tập 9). Chứng minh rằng phức $\mathscr{A}(B, M)$ xác định một giải tự do phải của A-môđun M. (Chỉ cần kiểm tra rằng phức $B \otimes_A \mathscr{A}(B, M)$ xác định một giải của $B \otimes_A M$ ; xây dựng một đồng luân A-tuyến tính giữa hai phức này.)

Lời giải

Chưa có lời giải nào được viết.