Exercice 3, § 3

Soient B un anneau, a un idéal bilatère de B, b un idéal à gauche de B contenant a. On désigne par A l’anneau $B/a$, par $p : B \to A$ l’homomorphisme de passage au quotient et par b’ l’idéal $p(b) \subset A$.

a) On considère la suite d’injections canoniques :

Montrer que la suite obtenue par produit tensoriel avec $B/a$

définit une résolution gauche du A-module $A/b'$.

b) On suppose que les idéaux a et b sont des A-modules à gauche libres. Montrer que la résolution précédente est une résolution libre du A-module $A/b'$.

c) Soient G un groupe, k un anneau commutatif, $A = k^{(G)}$ l’algèbre de G sur k, $\varepsilon : A \to k$ l’homomorphisme de k-algèbres tel que $\varepsilon(e_g) = 1$ pour tout $g \in G$. On munit k de la structure de A-module (à gauche) associée à l’homomorphisme $\varepsilon$. Soient $(g_i)_{i \in I}$ une famille génératrice de G, F le groupe libre construit sur I, $B = k^{(F)}$, $\pi : F \to G$ l’homomorphisme tel que $\pi(i) = g_i$ pour $i \in I$, $p : B \to A$ l’homomorphisme de k-algèbres déduit de $\pi$. Montrer que les idéaux $a = \mathrm{Ker}\,(p)$ et $b = \mathrm{Ker}\,(\varepsilon \circ p)$ sont des B-modules à gauche libres; en déduire une résolution libre du $k^{(G)}$-module k.

(D’après l, p. 147, exercice 20, le groupe $\mathrm{Ker}\,(\pi)$ admet une famille basique $(r_\alpha)_{\alpha \in J}$; montrer que les éléments $(e_{r_\alpha} - 1)$, pour $\alpha \in J$ (resp. $(e_i - 1)$, pour $i \in I$) forment une base du B-module à gauche a (resp. b).)

d) Avec les notations de c), on pose $R = \mathrm{Ker}\,(\pi)$; soit $\varphi : R \to R/(R, R)$ l’application de passage au quotient. On munit le k-module $k \otimes_Z R/(R, R)$ de la structure de A-module telle que

pour tout $r \in R, f \in F$. Montrer qu’il existe une suite exacte de A-modules :