Bài tập 3, § 3

Cho $B$ là một vành, $a$ là một iđêan hai phía của $B$, $b$ là một iđêan trái của $B$ chứa $a$. Ta ký hiệu bởi A vành $B/a$, bởi $p : B \to A$ đồng cấu chuyển qua thương và bởi b’ iđêan $p(b) \subset A$.

a) Ta xét dãy các phép nhúng chính tắc:

Bây giờ chứng minh rằng dãy thu được bằng tích tenxơ với $B/a$

xác định một giải trái của A-môđun $A/b'$.

b) Giả sử rằng các iđêan a và b là các A-môđun trái tự do. Bây giờ chứng minh rằng giải trước đó là một giải tự do của A-môđun $A/b'$.

c) Cho G là một nhóm, k là một vành giao hoán, $A = k^{(G)}$ là đại số của G trên k, $\varepsilon : A \to k$ là đồng cấu của các đại số k sao cho $\varepsilon(e_g) = 1$ với mọi $g \in G$. Ta trang bị cho k cấu trúc A-môđun (trái) liên kết với đồng cấu $\varepsilon$. Cho $(g_i)_{i \in I}$ là một họ sinh của G, F là nhóm tự do được xây dựng trên I, $B = k^{(F)}$, $\pi : F \to G$ là đồng cấu sao cho $\pi(i) = g_i$ với mọi $i \in I$, $p : B \to A$ là đồng cấu của các đại số k suy ra từ $\pi$. Bây giờ chứng minh rằng các iđêan $a = \mathrm{Ker}\,(p)$ và $b = \mathrm{Ker}\,(\varepsilon \circ p)$ là các B-môđun trái tự do; suy ra một giải tự do của $k^{(G)}$-môđun k.

(Từ l, p. 147, Bài tập 20, nhóm $\mathrm{Ker}\,(\pi)$ thừa nhận một họ cơ sở $(r_\alpha)_{\alpha \in J}$; bây giờ chứng minh rằng các phần tử $(e_{r_\alpha} - 1)$, với $\alpha \in J$ (tương ứng $(e_i - 1)$, với $i \in I$) tạo thành một cơ sở của B-môđun trái a (tương ứng b).)

d) Với các ký hiệu của c), đặt $R = \mathrm{Ker}\,(\pi)$; cho $\varphi : R \to R/(R, R)$ là ánh xạ chuyển qua thương. Ta trang bị cho k-môđun $k \otimes_Z R/(R, R)$ cấu trúc A-môđun sao cho

với mọi $r \in R, f \in F$. Bây giờ chứng minh rằng tồn tại một dãy khớp các A-môđun: