Exercice 4, § 3

On suppose l’anneau A commutatif.

Soient G un groupe, K un schéma simplicial (X, p. 177, exercice 19). Une opération de G dans K est un homomorphisme de G dans le groupe des applications simpliciales bijectives de K dans lui-même.

a) Une opération de G dans K définit une opération de G sur le A-module S(K, A) (loc. cit.) ; montrer que cette action fait de S(K, A) un complexe de $A^{(G)}$-modules.

b) On suppose que G opère librement sur l’ensemble sous-jacent à K. Montrer que les $A^{(G)}$-modules $S_n(K, A)$ sont libres.

c) On suppose que le schéma simplicial K est conique. Montrer que le $A^{(G)}$-complexe S(K, A) définit une résolution gauche de A, muni de la structure de $A^{(G)}$-module pour laquelle $e_g a = a$ pour tous $g \in G, a \in A$.

d) Soit $|G|$ le schéma simplicial $(G, \mathscr{F})$, où $\mathscr{F}$ est l’ensemble des parties finies de G. Le groupe G opère par translations à gauche sur le schéma simplicial $|G|$; montrer que le $A^{(G)}$-complexe S(|G|, A) est une résolution libre du $A^{(G)}$-module A.

e) Soit $B(A^{(G)}, A)$ la résolution standard du $A^{(G)}$-module A; pour $n \geq 0$, le $A^{(G)}$-module $B_n(A^{(G)}, A)$ s’identifie à $(A^{(G)})^{\otimes(n+1)}$. Montrer que l’homomorphisme A-linéaire $u : S(|G|, A) \to B(A^{(G)}, A)$, défini par

est un isomorphisme de $A^{(G)}$-complexes.