Bài tập 4, § 3

Ta giả sử vành A giao hoán.

Cho G là một nhóm, K là một lược đồ đơn hình (X, p. 177, bài tập 19). Một phép toán của G trong K là một đồng cấu của G vào nhóm các ánh xạ đơn hình song ánh từ K vào chính nó.

a) Một phép toán của G trong K xác định một phép toán của G trên A-môđun S(K, A) (loc. cit.); hãy chứng minh rằng tác động này làm cho S(K, A) thành một phức các $A^{(G)}$-môđun.

b) Giả sử rằng G tác động tự do trên tập hợp nền của K. Hãy chứng minh rằng các $A^{(G)}$-môđun $S_n(K, A)$ là tự do.

c) Giả sử rằng lược đồ đơn hình K là hình nón. Hãy chứng minh rằng phức $A^{(G)}$-S(K, A) xác định một phân giải trái của A, được trang bị cấu trúc của $A^{(G)}$-môđun mà trong đó $e_g a = a$ với mọi $g \in G, a \in A$.

d) Cho $|G|$ là lược đồ đơn hình $(G, \mathscr{F})$, trong đó $\mathscr{F}$ là tập hợp các tập con hữu hạn của G. Nhóm G tác động bởi các phép tịnh tiến trái trên lược đồ đơn hình $|G|$; hãy chứng minh rằng phức $A^{(G)}$-S(|G|, A) là một phân giải tự do của $A^{(G)}$-môđun A.

e) Cho $B(A^{(G)}, A)$ là phân giải chuẩn của $A^{(G)}$-môđun A; với $n \geq 0$, $A^{(G)}$-môđun $B_n(A^{(G)}, A)$ được đồng nhất với $(A^{(G)})^{\otimes(n+1)}$. Hãy chứng minh rằng đồng cấu A-tuyến tính $u : S(|G|, A) \to B(A^{(G)}, A)$, được xác định bởi

là một đẳng cấu của các phức $A^{(G)}$.