Exercice 6, § 3

Soit $M$ un $A$-module à gauche. On appelle présentation de longueur $n$ ou n-présentation de $M$ une suite exacte

où $L_i$ est un $A$-module à gauche libre ($0 \leqslant i \leqslant n$). On dit que la présentation est finie si tous les $L_i$ sont des modules libres de type fini.

Si $M$ est un $A$-module à gauche de type fini, on désigne par $\lambda(M)$ la borne supérieure (finie ou égale à $+\infty$) des entiers $n \geqslant 0$ tels que $M$ possède une $n$-présentation finie. Si $M$ n’est pas de type fini, on pose $\lambda(M) = -1$.

a) Soit $0 \to P \to N \to M \to 0$ une suite exacte de $A$-modules à gauche. On a alors $\lambda(N) \geqslant \inf (\lambda(P), \lambda(M))$.

b) Soit $L_n \xrightarrow{d_n} L_{n-1} \to \cdots \to L_0 \to M \to 0$ une $n$-présentation finie de $M$; si $\lambda(M) > n$, montrer que $\operatorname{Ker}(d_n)$ est un $A$-module de type fini (utiliser l’exercice 5, b)).

c) Montrer que, sous les hypothèses de a), on a

(Si $n \leqslant \inf (\lambda(N), \lambda(P) + 1)$), montrer par récurrence sur $n$ que $\lambda(M) \geqslant n$, en raisonnant comme dans a) et utilisant b).)

d) Montrer que, sous les hypothèses de a), on a

(Même méthode que dans c.). En déduire que, si $\lambda(N) = +\infty$, alors $\lambda(M) = \lambda(P) + 1$.

e) Déduire de a), c) et d) que, si $N = M \oplus P$, on a

En particulier, pour que $N$ admette une présentation finie il faut et il suffit qu’il en soit ainsi pour $M$ et $P$.

f) Soient $N_1, N_2$ deux sous-modules d’un $A$-module $M$. Supposons que $N_1$ et $N_2$ admettent une présentation finie. Pour que $N_1 + N_2$ admette une présentation finie, il faut et il suffit que $N_1 \cap N_2$ soit de type fini.