Bài tập 6, § 3

Cho $M$ là một $A$-môđun trái. Người ta gọi biểu diễn có độ dài $n$ hoặc biểu diễn $n$ của $M$ là một dãy khớp

trong đó $L_i$ là một $A$-môđun trái tự do ($0 \leqslant i \leqslant n$). Người ta nói rằng biểu diễn là hữu hạn nếu mọi $L_i$ đều là các môđun tự do kiểu sinh hữu hạn.

Nếu $M$ là một $A$-môđun trái sinh hữu hạn, người ta ký hiệu bởi $\lambda(M)$ cận trên đúng (hữu hạn hoặc bằng $+\infty$) của các số nguyên $n \geqslant 0$ sao cho $M$ có một biểu diễn $n$ hữu hạn. Nếu $M$ không thuộc kiểu hữu hạn, ta đặt $\lambda(M) = -1$.

a) Cho $0 \to P \to N \to M \to 0$ là một dãy khớp các $A$-môđun trái. Khi đó ta có $\lambda(N) \geqslant \inf (\lambda(P), \lambda(M))$.

b) Cho $L_n \xrightarrow{d_n} L_{n-1} \to \cdots \to L_0 \to M \to 0$ là một biểu diễn $n$ hữu hạn của $M$; nếu $\lambda(M) > n$, bây giờ chứng minh rằng $\operatorname{Ker}(d_n)$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn (sử dụng bài tập 5, b)).

c) Bây giờ chứng minh rằng, dưới các giả thiết của a), ta có

(Nếu $n \leqslant \inf (\lambda(N), \lambda(P) + 1)$), bây giờ chứng minh bằng quy nạp theo $n$ rằng $\lambda(M) \geqslant n$, lập luận như trong a) và sử dụng b).)

d) Bây giờ chứng minh rằng, dưới các giả thiết của a), ta có

(Cùng phương pháp như trong c). Suy ra rằng, nếu $\lambda(N) = +\infty$, thì $\lambda(M) = \lambda(P) + 1$.

e) Suy ra từ a), c) và d) rằng, nếu $N = M \oplus P$, ta có

Đặc biệt, để $N$ có một biểu diễn hữu hạn thì điều kiện cần và đủ là điều này đúng đối với $M$ và $P$.

f) Cho $N_1, N_2$ là hai môđun con của một $A$-môđun $M$. Giả sử rằng $N_1$ và $N_2$ có một biểu diễn hữu hạn. Để $N_1 + N_2$ có một biểu diễn hữu hạn, điều kiện cần và đủ là $N_1 \cap N_2$ thuộc kiểu hữu hạn.