Exercice 7, § 3

a) Avec les notations de l’exercice 6, montrer que, si $M$ est un module projectif, on a

Si $A$ est un anneau noethérien à gauche, alors, pour tout $A$-module $M$, on a $\lambda(M) = -1$ ou $\lambda(M) = +\infty$.

b) Si $a$ est un idéal à gauche d’un anneau $A$, qui n’est pas de type fini, $A_s/a$ est un $A$-module monogène qui n’admet pas de présentation finie, autrement dit $\lambda(A_s/a) = 0$ (cf. X, p. 11, prop. 6).

c) Donner un exemple d’un idéal à gauche monogène $a$ d’un anneau $A$ tel que $A_s/a$ (qui est de présentation finie) admette un dual qui ne soit pas un $A$-module à droite de type fini.

d) Soient $K$ un corps commutatif, $E$ l’espace vectoriel $K^{(N)}$, $(e_n)$ la base canonique de $E$, $T$ l’algèbre tensorielle de $E$, dont une base est donc formée des produits finis $e_{i_1} e_{i_2} \ldots e_{i_k}$ ($k \geqslant 0, i_j \in \mathbf{N}$ pour tout $j$). Pour un entier $n$ donné, soit $b$ l’idéal bilatère de $T$ engendré par les produits $e_1 e_0, e_2 e_1, \ldots, e_n e_{n-1}$ et $e_{n+k} e_n$

EXERCICES

pour tout $k \geqslant 1$; soit $A$ l’anneau quotient $T/b$, et pour tout entier $m$, soit $a_m$ l’image canonique de $e_m$ dans $A$. Montrer que, si $M = A_s / Aa_o$, on a $\lambda(M) = n$ (observer que, pour $m \leqslant n - 1$, l’annulateur à gauche de $a_m$ est $Aa_{m+1}$, et utiliser l’exercice 6, b)).