Bài tập 7, § 3

a) Với các ký hiệu của Bài tập 6, bây giờ chứng minh rằng, nếu $M$ là một môđun xạ ảnh, ta có

Nếu $A$ là một vành Noether trái, thì, với mọi $A$-môđun $M$, ta có $\lambda(M) = -1$ hoặc $\lambda(M) = +\infty$.

b) Nếu $a$ là một iđêan trái của một vành $A$, không thuộc kiểu hữu hạn, thì $A_s/a$ là một $A$-môđun đơn sinh không có một biểu diễn hữu hạn, nói cách khác $\lambda(A_s/a) = 0$ (cf. X, p. 11, prop. 6).

c) Cho một ví dụ về một iđêan trái đơn sinh $a$ của một vành $A$ sao cho $A_s/a$ (là hữu hạn biểu diễn) có một đối ngẫu không phải là một $A$-môđun phải thuộc kiểu hữu hạn.

d) Cho $K$ là một trường giao hoán, $E$ là không gian vectơ $K^{(N)}$, $(e_n)$ là cơ sở chính tắc của $E$, $T$ là đại số tenxơ của $E$, mà cơ sở của nó do đó được tạo bởi các tích hữu hạn $e_{i_1} e_{i_2} \ldots e_{i_k}$ ($k \geqslant 0, i_j \in \mathbf{N}$ với mọi $j$). Với một số nguyên $n$ cho trước, gọi $b$ là iđêan hai phía của $T$ sinh bởi các tích $e_1 e_0, e_2 e_1, \ldots, e_n e_{n-1}$ và $e_{n+k} e_n$

BÀI TẬP

với mọi $k \geqslant 1$; gọi $A$ là vành thương $T/b$, và với mọi số nguyên $m$, gọi $a_m$ là ảnh chính tắc của $e_m$ trong $A$. Bây giờ chứng minh rằng, nếu $M = A_s / Aa_o$, thì $\lambda(M) = n$ (nhận xét rằng, với $m \leqslant n - 1$, linh hóa tử trái của $a_m$ là $Aa_{m+1}$, và sử dụng Bài tập 6, b)).