Exercice 3, § 4

Algèbre, X, p. 185

On suppose l’anneau A commutatif. Soient l un ensemble fini et (C^{(i)}, d^{(i)})_{i ∈ I} une famille de complexes de A-modules. a) On munit le produit tensoriel ⊗ C^{(i)} de sa graduation de type $\mathbf{Z}^l$ et des A-endomorphismes

d_i = \bigotimes_{j \in I} d_i^{(j)} \quad \text{avec} \quad d_i^{(j)} = 1_{C^{(j)}} \quad \text{pour} \quad j \neq i \quad \text{et} \quad d_i^{(i)} = d^{(i)} .

Montrer qu’on obtient ainsi un I-précomplexe (X, exercice 13, p. 174); le I-complexe associé est appelé l-complexe produit tensoriel des complexes C^{(i)}. Le complexe associé à cet I-complexe est appelé complexe produit tensoriel des C^{(i)}. b) Montrer que le choix d’un ordre total sur I permet de définir un isomorphisme du complexe produit tensoriel des C^{(i)} sur le complexe défini en X, p. 64.

Solution

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