Exercice 5, § 4

Algèbre, X, p. 185

On suppose qu’il existe un homomorphisme (unifère) de k-algèbres π : A → k, qui munit k d’une structure de A-module. On considère la résolution standard B(A, k) (X, p. 58); pour n ≥ 0, on identifie B_n(A, k) à A ⊗_k A^⊗n et on note a[a_1, ..., a_n] l’élément a ⊗ a_1 ⊗ ... ⊗ a_n de A ⊗_k A^⊗n. a) Montrer que le complexe B(A, k) ⊗_k B(A, k) définit une résolution du (A ⊗_k A)-module k. Montrer que l’homomorphisme (A ⊗_k A)-linéaire

g : B(A \otimes_k A, k) \to B(A, k) \otimes_k B(A, k)

tel que

g([x_1 \otimes y_1, ..., x_n \otimes y_n]) = \sum_{0 \leq p \leq n} \pi(x_{p+1} ... x_n) [x_1, ..., x_p] \otimes y_1 ... y_p[y_{p+1}, ..., y_n]

pour x_1, ..., x_n, y_1, ..., y_n dans A, est un morphisme de résolutions. b) On suppose A commutatif. Montrer qu’il existe sur B(A, k) une structure de A-algèbre graduée telle que l’on ait pour x_1, ..., x_n ∈ A :

[x_1, ..., x_p] [x_{p+1}, ..., x_n] = \sum_{\sigma \in M_{p,n}} \varepsilon(\sigma) [x_{\sigma(1)}, ..., x_{\sigma(n)}]

où M_{p,n} est le sous-ensemble de S_n formé des permutations σ telles que σ(1) < ... < σ(p) et σ(p + 1) < ... < σ(n). Montrer que B(A, k) est alors une A-algèbre différentielle graduée (X, p. 183, exercice 18).

Solution

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