Bài tập 5, § 4

Giả sử tồn tại một đồng cấu (có đơn vị) của các đại số trên $k$ π : A → k, cho k một cấu trúc A-môđun. Xét phân giải chuẩn B(A, k) (X, p. 58); với n ≥ 0, đồng nhất B_n(A, k) với A ⊗_k A^⊗n và ký hiệu a[a_1, ..., a_n] là phần tử a ⊗ a_1 ⊗ ... ⊗ a_n của A ⊗_k A^⊗n. (a) Chứng minh rằng phức B(A, k) ⊗_k B(A, k) xác định một phân giải của (A ⊗_k A)-môđun k. Chứng minh rằng đồng cấu tuyến tính theo (A ⊗_k A)

sao cho với x_1, ..., x_n, y_1, ..., y_n trong A, là một cấu xạ của các phân giải. (b) Giả sử rằng A là giao hoán. Chứng minh rằng trên B(A, k) tồn tại một cấu trúc đại số trên A phân bậc sao cho với x_1, ..., x_n ∈ A: trong đó M_{p,n} là tập con của S_n được tạo thành bởi các hoán vị σ sao cho σ(1) < ... < σ(p) và σ(p + 1) < ... < σ(n). Chứng minh rằng khi đó B(A, k) là một đại số vi phân phân bậc trên A (X, p. 183, bài tập 18).