Exercice 6, § 4

Soit P un complexe plat de A-modules à droite. Pour tout A-module M et tout entier i, on pose

si u : M → N est un A-homomorphisme, on note T^P_i(u) le k-homomorphisme H_i(1_P ⊗ u). a) Soit r un entier. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : α) Pour toute injection u : M' → M, l’application T^P_r(u) est injective. β) Pour toute surjection v : M → M'', l’application T^P_{r+1}(v) est surjective. γ) Le A-module à droite P_r/B_r(P) est plat. δ) Il existe un complexe plat P' de A-modules à droite, dont la différentielle d_{r+1} est nulle, et pour tout A-module M et tout entier i un k-isomorphisme φ^M_i : T^P_i(M) → T^{P'}_i(M), tel que l’on ait pour tout A-homomorphisme u : M → N.

BOURBAKI. — Algèbre X

(Pour prouver que $\gamma$) entraîne $\delta)$, définir $P'$ en posant $P'_{r+1}=Z_{r+1}(P)$ et $P'_r=P_r/B_r(P)$.)

b) On suppose de plus que $A$ est noethérien et que les $A$-modules $P_i$ sont de type fini. Montrer que les conditions de a) sont équivalentes à la condition suivante :

e) Il existe un $A$-module $Q$ et pour tout $A$-module $M$ un $k$-isomorphisme

tel que pour tout $A$-homomorphisme $u:M\longrightarrow N$.

(Pour prouver que $\delta$) entraîne $\varepsilon)$, se ramener au cas où $d_{r+1}=0$ et prendre pour $Q$ le dual de $Z_r(P)$.)

c) Montrer que le résultat de b) reste valable sous l’hypothèse que $A$ est noethérien, $H_i(P)$ de type fini pour tout $i$ et $H_i(P)=0$ pour $i<i_0$ (utiliser la prop. 10, p. 56).