Bài tập 6, § 4

Cho $P$ là một phức phẳng của các A-môđun phải. Với mọi A-môđun $M$ và mọi số nguyên $i$, đặt

nếu $u : M \to N$ là một đồng cấu A, ký hiệu $T^P_i(u)$ là đồng cấu k $H_i(1_P \otimes u)$. a) Cho $r$ là một số nguyên. Bây giờ chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: α) Với mọi đơn ánh $u : M' \to M$, ánh xạ $T^P_r(u)$ là đơn ánh. β) Với mọi toàn ánh $v : M \to M''$, ánh xạ $T^P_{r+1}(v)$ là toàn ánh. γ) A-môđun phải $P_r/B_r(P)$ là phẳng. δ) Tồn tại một phức phẳng $P'$ của các A-môđun phải, có vi phân $d_{r+1}$ bằng không, và với mọi A-môđun $M$ và mọi số nguyên $i$ một đẳng cấu k $\varphi^M_i : T^P_i(M) \to T^{P'}_i(M)$, sao cho với mọi đồng cấu A $u : M \to N$.

BOURBAKI. — Đại số X

(Để chứng minh rằng $\gamma$) suy ra $\delta)$, định nghĩa $P'$ bằng cách đặt $P'_{r+1}=Z_{r+1}(P)$ và $P'_r=P_r/B_r(P)$.)

b) Giả sử thêm rằng $A$ là Noether và các A-môđun $P_i$ là kiểu hữu hạn. Bây giờ chứng minh rằng các điều kiện của a) tương đương với điều kiện sau:

e) Tồn tại một A-môđun $Q$ và với mọi A-môđun $M$ một đẳng cấu k

sao cho với mọi đồng cấu A $u:M\longrightarrow N$.

(Để chứng minh rằng $\delta$) suy ra $\varepsilon)$, rút gọn về trường hợp $d_{r+1}=0$ và lấy $Q$ là đối ngẫu của $Z_r(P)$.)

c) Bây giờ chứng minh rằng kết quả của b) vẫn đúng dưới giả thiết rằng $A$ là Noether, $H_i(P)$ là kiểu hữu hạn với mọi $i$ và $H_i(P)=0$ với $i<i_0$ (dùng mệnh đề 10, p. 56).