Exercice 8, § 4

Soient $A$, $B$ deux $k$-algèbres (associatives et unifères), $M$ un $A$-module à droite, $P$ un $B$-module à gauche, $N$ un $(A,B)$-bimodule.

a) Montrer qu’il existe deux suites spectrales de $k$-modules ${}^1E$ et ${}^2E$, convergeant vers le même $k$-module gradué, telles que

(Considérer le complexe double $L(M)\otimes_A(N\otimes_B L(P))$.)

b) Si $N$ est un $B$-module plat, montrer que la suite spectrale ${}^2E$ converge vers $\operatorname{Tor}^A(M,N\otimes_B P)$. Si $N$ est un $A$-module plat, la suite ${}^1E$ converge vers $\operatorname{Tor}^B(M\otimes_A N,P)$.

c) Soit $\rho:A\to B$ un homomorphisme de $k$-algèbres. Déduire de b) une suite spectrale $E$ telle que

convergeant vers $\operatorname{Tor}^A(M,P)$.