Bài tập 8, § 4

Cho $A$, $B$ là hai $k$-đại số (kết hợp và với phần tử khả nghịch), $M$ là một $A$-môđun phải, $P$ là một $B$-môđun trái, $N$ là một $(A,B)$-song môđun.

a) Chứng minh rằng tồn tại hai dãy phổ của các $k$-môđun ${}^1E$ và ${}^2E$, hội tụ về cùng một $k$-môđun phân bậc, sao cho

(Xét phức kép $L(M)\otimes_A(N\otimes_B L(P))$.)

b) Nếu $N$ là một $B$-môđun phẳng, chứng minh rằng dãy phổ ${}^2E$ hội tụ về $\operatorname{Tor}^A(M,N\otimes_B P)$. Nếu $N$ là một $A$-môđun phẳng, dãy phổ ${}^1E$ hội tụ về $\operatorname{Tor}^B(M\otimes_A N,P)$.

c) Cho $\rho:A\to B$ là một đồng cấu của các $k$-đại số. Suy ra từ b) một dãy phổ $E$ sao cho

hội tụ về $\operatorname{Tor}^A(M,P)$.