Exercice 9, § 4

Algèbre, X, p. 186

Soient $P$ un complexe de $A$ -modules à droite, $Q$ un complexe de $A$ -modules à gauche. On suppose ou bien que $P$ et $Q$ sont bornés inférieurement, ou bien qu’il existe un entier $d$ tel que tout $A$ -module à gauche ou à droite admette une résolution projective de longueur $\leq d$ .

a) Montrer qu’il existe deux suites spectrales (X, p. 175, exercice 14) $'E$ et $''E$ , convergeant vers le même $k$ -module gradué, telles que

{}'E^2_{pq}=H_p(\operatorname{Tor}^A_q(P,Q)); \qquad {}''E^2_{pq}=\bigoplus_{q'+q''=q}\operatorname{Tor}^A_p(H_{q'}(P),H_{q''}(Q)).

(où $\operatorname{Tor}^A_q(P,Q)$ désigne le complexe associé au bicomplexe

\bigoplus_{r,s}\operatorname{Tor}^A_q(P_r,Q_s).

)

(Considérer des résolutions projectives (X, p. 183, exercice 17) $\mathscr P$ et $\mathscr Q$ de $P$ et $Q$ , et le complexe double $C$ tel que

C_{p,q}=\bigoplus_{\substack{p'+p''=p\\q'+q''=q}} (\mathscr P_{p',q'}\otimes\mathscr Q_{p'',q''}).

)

b) Si $P$ est plat, montrer que la suite spectrale $''E$ converge vers $H(P\otimes_A Q)$ . Si $H(P)$ est plat, la suite spectrale $'E$ converge vers $H(P)\otimes_A H(Q)$ .

Solution

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