Bài tập 9, § 4

Cho $P$ là một phức các $A$-môđun phải, $Q$ là một phức các $A$-môđun trái. Giả sử hoặc là $P$ và $Q$ bị chặn dưới, hoặc là tồn tại một số nguyên $d$ sao cho mọi $A$-môđun trái hoặc phải đều thừa nhận một phân giải xạ ảnh có độ dài $\leq d$.

a) Bây giờ chứng minh rằng tồn tại hai dãy phổ (X, p. 175, bài tập 14) $'E$ và $''E$, hội tụ về cùng một $k$-môđun phân bậc, sao cho

(trong đó $\operatorname{Tor}^A_q(P,Q)$ ký hiệu phức liên kết với phức kép

)

(Xét các phân giải xạ ảnh (X, p. 183, bài tập 17) $\mathscr P$ và $\mathscr Q$ của $P$ và $Q$, và phức kép $C$ sao cho

)

b) Nếu $P$ là phẳng, bây giờ chứng minh rằng dãy phổ $''E$ hội tụ về $H(P\otimes_A Q)$. Nếu $H(P)$ là phẳng, dãy phổ $'E$ hội tụ về $H(P)\otimes_A H(Q)$.