Exercice 10, § 6

Soient $G$ et $H$ deux groupes, $u:H\to G$ un homomorphisme, $M$ un $\mathbf Z^{(G)}$-module, Pour tout $q\geq 0$, on déduit des homomorphismes $\alpha$ et $\beta$ de l’exercice 1 des homomorphismes

que l’on note simplement $u_q$ et $u^q$ s’il n’y a pas d’ambiguïté sur $M$.

a) Pour $f\in C^q(G,M)$, on note $f_u$ l’élément de $C^q(H,M)$ tel que

pour $h_1,\ldots,h_q\in H$. Montrer que l’application $f\mapsto f_u$ est un morphisme de complexes de $C^q(G,M)$ dans $C^q(H,M)$, qui induit sur l’homologie l’homomorphisme $\bigoplus_q u^q$. Définir de même un morphisme de $C^q(H,M)$ dans $C^q(G,M)$ qui induit $(\bigoplus u_q)$.

b) On suppose $H=G$ et on prend pour $u$ un automorphisme intérieur de $G$. Démontrer que les homomorphismes $u_q$ et $u^q$ sont égaux à l’identité (raisonner par récurrence sur $q$).