Bài tập 10, § 6

Cho $G$ và $H$ là hai nhóm, $u:H\to G$ là một đồng cấu, $M$ là một $\mathbf Z^{(G)}$-môđun. Với mọi $q\geq 0$, từ các đồng cấu $\alpha$ và $\beta$ của Bài tập 1 suy ra các đồng cấu

được ký hiệu đơn giản là $u_q$ và $u^q$ nếu không có sự nhập nhằng về $M$.

a) Với $f\in C^q(G,M)$, ký hiệu $f_u$ là phần tử của $C^q(H,M)$ sao cho

với $h_1,\ldots,h_q\in H$. Chứng minh rằng ánh xạ $f\mapsto f_u$ là một cấu xạ của các phức từ $C^q(G,M)$ vào $C^q(H,M)$, cảm sinh trên đồng điều đồng cấu $\bigoplus_q u^q$. Định nghĩa tương tự một cấu xạ từ $C^q(H,M)$ vào $C^q(G,M)$ cảm sinh $(\bigoplus u_q)$.

b) Giả sử rằng $H=G$ và lấy $u$ là một tự đẳng cấu trong của $G$. Chứng minh rằng các đồng cấu $u_q$ và $u^q$ bằng với đồng nhất (lập luận bằng quy nạp theo $q$).