§ 6. Sử dụng các phân giải không chính tắc

Ta giữ lại các quy ước của § 4.

1. Tính các môđun $\mathrm{Tor}^A(P, M)$ và $\mathrm{Ext}_A(M, N)$

Cho $M, N$ là các $A$ -môđun trái, $P$ là một $A$ -môđun phải. Hơn nữa, cho $a : R \to M$ là một phân giải trái của $M$ , $b : S \to P$ là một phân giải trái của $P$ và $c : N \to E$ là một phân giải phải của $N$ .

Theo $X$ , p. 49, mệnh đề 3 và 3 bis, tồn tại các cấu xạ phức $\alpha : L(M) \to R$ , $\beta : L(P) \to S$ , $\gamma : E \to I(N)$ sao cho $a \circ \alpha = p_M$ , $b \circ \beta = p_P$ , $\gamma \circ C = e_N$ , và các lớp đồng luân của $\alpha, \beta, \gamma$ chỉ phụ thuộc vào các phân giải đã cho. Theo $X$ , p. 64, mệnh đề 3 và $X$ , p. 84, mệnh đề 3, các lớp đồng luân của các cấu xạ

\beta \otimes \alpha : L(P) \otimes_A L(M) \to S \otimes_A R,

\mathrm{Homgr}_A(\alpha, \gamma) : \mathrm{Homgr}_A(R, E) \to \mathrm{Homgr}_A(L(M), I(N))

chỉ phụ thuộc vào các phân giải đã cho, do đó khi chuyển qua đồng điều ta được các $k$ -đồng cấu phân bậc bậc 0

\psi(S, R) : \mathrm{Tor}^A(P, M) \to H(S \otimes_A R),

\varphi(R, E) : H(\mathrm{Homgr}_A(R, E)) \to \mathrm{Ext}_A(M, N),

độc lập với lựa chọn của $\alpha, \beta, \gamma$ .

Ví dụ, lấy đối với $a, b, c$ các ánh xạ đồng nhất của tương ứng $M, P, N$ , ta thu được các đồng cấu $\psi(P, M) : \mathrm{Tor}^A(P, M) \to P \otimes_A M$ và $\varphi(M, N) : \mathrm{Hom}_A(M, N) \to \mathrm{Ext}_A(M, N)$ được đưa vào trong $X$ , p. 68, nhận xét 2) và $X$ , p. 87, nhận xét 2).

Định lý 1

a) Nếu một trong hai phân giải $R$ hoặc $S$ là phẳng, thì $\psi(S, R)$ là một đẳng cấu của các $k$ -môđun phân bậc.

b) Nếu $R$ là xạ ảnh hoặc nếu $E$ là đơn ánh, thì $\varphi(R, E)$ là một đẳng cấu của các $k$ -môđun phân bậc.

a) Chẳng hạn giả sử $\mathbf R$ phẳng, và chọn $\alpha$ và $\beta$ như trên. Đồng cấu $\beta\otimes\alpha$ là hợp thành của các cấu xạ

L(P)\otimes_A L(M)\xrightarrow{1_{L(P)}\otimes\alpha}L(P)\otimes_A\mathbf R\xrightarrow{\beta\otimes1_{\mathbf R}}S\otimes_A\mathbf R.

Vì $L(P)$ (tương ứng $\mathbf R$ ) là phẳng và $\alpha$ (tương ứng $\beta$ ) là một đồng cấu, nên $1_{L(P)}\otimes\alpha$ (tương ứng $\beta\otimes1_{\mathbf R}$ ) cũng là một đồng cấu, theo mệnh đề 4 của X, p. 67. Vậy $\beta\otimes\alpha$ là một đồng cấu và $\psi(S,R)=H(\beta\otimes\alpha)$ là song ánh.

b) Ta lập luận tương tự, dùng mệnh đề 4 của X, p. 86.

Hệ quả

Nếu $R$ là một phân giải phẳng của $M$ , đồng cấu

\psi(P,R):\operatorname{Tor}^A(P,M)\longrightarrow H(P\otimes_A R)

là song ánh. Nếu $R$ là một phân giải xạ ảnh của $M$ , đồng cấu

\varphi(R,N):H(\operatorname{Homgr}_A(R,N))\longrightarrow \operatorname{Ext}_A(M,N)

là song ánh. Nếu $E$ là một phân giải đơn ánh của $N$ , thì đồng cấu

\varphi(M,E):H(\operatorname{Homgr}_A(M,E))\longrightarrow \operatorname{Ext}_A(M,N)

là song ánh.

Nhận xét

Biểu đồ các $k$ -môđun

\begin{array}{ccc} \operatorname{Tor}^A(P,M)&\xrightarrow{\psi(S,R)}&H(S\otimes_A R)\\ \downarrow{\sigma_{P,M}}&&\downarrow{H(\sigma(S,R))}\\ \operatorname{Tor}^{A^\circ}(M^\circ,P^\circ)&\xrightarrow{\psi(R^\circ,S^\circ)}&H(R^\circ\otimes_{A^\circ}S^\circ), \end{array}

trong đó $\sigma_{P,M}$ và $\sigma(S,R)$ là các đẳng cấu giao hoán (X, p. 71 và 63), là giao hoán: thật vậy, nó thu được bằng cách chuyển qua đồng điều từ biểu đồ giao hoán các phức

\begin{array}{ccc} L(P)\otimes_A L(M)&\xrightarrow{\beta\otimes\alpha}&S\otimes_A R\\ \downarrow{\sigma(L(P),L(M))}&&\downarrow{\sigma(S,R)}\\ L(M^\circ)\otimes_{A^\circ}L(P^\circ)&\xrightarrow{\alpha\otimes\beta}&R^\circ\otimes_{A^\circ}S^\circ \end{array}

("các cấu xạ $\psi$ tương thích với các đẳng cấu giao hoán").

Tương tự, cho $a_1:R_1\to M$ , $b_1:S_1\to P$ , $c_1:N\to E_1$ là các cấu xạ của phức, trong đó $R_1$ và $S_1$ là xạ ảnh và phải không, còn $E_1$ là đơn ánh và trái không. Theo X, p. 49, mệnh đề 3 và 3 bis, tồn tại các cấu xạ của phức

\alpha_1:R_1\to L(M),\qquad \beta_1:S_1\to L(P),\qquad \gamma_1:I(N)\to E_1

sao cho $p_M \circ \alpha_1 = a_1, p_P \circ \beta_1 = b_1, \gamma_1 \circ e_N = c_1$ , do đó có các cấu xạ của phức

\beta_1 \otimes \alpha_1 : S_1 \otimes_A R_1 \to L(P) \otimes_A L(M),

\operatorname{Homgr}_A (\alpha_1, \gamma_1) : \operatorname{Homgr}_A (L(M), l(N)) \to \operatorname{Homgr}_A (R_1, E_1),

và, bằng cách chuyển qua đồng điều, các ánh xạ phân bậc k-tuyến tính bậc 0:

\psi'(S_1, R_1) : H(S_1 \otimes_A R_1) \to \operatorname{Tor}^A (P, M)

\varphi'(R_1, E_1) : \operatorname{Ext}_A (M, N) \to H(\operatorname{Homgr}_A (R_1, E_1))

mà, như trên, ta kiểm tra được là độc lập với lựa chọn $\alpha_1, \beta_1, \gamma_1$ .

Mệnh đề 1

Nếu* $a_1, b_1, c_1$ là các đồng cấu đồng điều, $\psi'(S_1, R_1)$ và $\varphi'(R_1, E_1)$ lần lượt là các song ánh nghịch đảo của các song ánh $\psi(S_1, R_1)$ và $\varphi(R_1, E_1)$ .

Thật vậy, $f = (\beta \otimes \alpha) \circ (\beta_1 \otimes \alpha_1)$ là một cấu xạ từ phức $S_1 \otimes_A R_1$ vào chính nó, và ta có $(h_1 \circ \alpha_1) \circ f = f$ . Theo X, p. 49, mệnh đề 3 và 3 bis, $f$ là một đồng luân đẳng cấu, do đó $H(f) = 1$ và

\psi(S_1, R_1) \circ \psi'(B_1, R_1) = H(\beta \otimes \alpha) \circ H(\beta_1 \otimes \alpha_1) = H(f) = 1;

tương tự $\psi'(S_1, R_1) \circ \psi(S_1, R_1) = 1$ . Ta lập luận tương tự cho các ánh xạ $\varphi$ và $\varphi'$ .

Ví dụ 1

Cho $a$ là một phần tử của $A$ sao cho ánh xạ $\varphi : x \mapsto xa$ từ $A$ vào chính nó là đơn ánh (" $a$ không là một ước của không phải "). Dùng phân giải

0 \to A_s \xrightarrow{\varphi} A_s \to A/Aa \to 0

ta thấy rằng với mọi $A$ -môđun phải $M$ , ta có

\operatorname{Tor}_i^A (M, A/Aa) = 0 \quad \text{với } i > 1

và $k$ -môđun $\operatorname{Tor}_1^A (M, A/Aa)$ đẳng cấu với $\operatorname{Ker} (a_M)$ .

Tương tự, với mọi $A$ -môđun trái $M$ , ta có

\operatorname{Ext}_A^i (A/Aa, M) = 0 \quad \text{với } i > 1

và $k$ -môđun $\operatorname{Ext}_A^1 (A/Aa, M)$ đẳng cấu với $M/aM$ .

Ví dụ 2

Giả sử rằng $A$ là một miền nguyên; cho $K$ là trường phân thức của $A$ và $M$ là một $A$ -môđun. Dùng phân giải phẳng

0 \to A \to K \to K/A \to 0

(X, p. 9, ví dụ 5), ta thấy rằng $\operatorname{Tor}_i^A (K/A, M) = 0$ với $i > 1$ ; hơn nữa, theo II, p. 116, prop. 26, (ii), $A$ -môđun $\operatorname{Tor}_1^A (K, A, M)$ đẳng cấu với môđun con xoắn của $M$ .

Ví dụ 3

Giả sử rằng $A$ là một vành địa phương Noether, ký hiệu $m$ là iđêan cực đại của nó, và đặt $\kappa = A/m$ . Cho $M$ là một $A$ -môđun sinh hữu hạn và $P$ là một phân giải xạ ảnh cực tiểu của $M$ (X, p. 54). Với mọi $n \geqslant 0$ , các không gian vectơ trên $\kappa$ $\mathrm{Tor}_n^A(\kappa, M)$ và $\mathrm{Ext}_A^n(M, \kappa)$ đều hữu hạn chiều, có chiều bằng hạng của $A$ -môđun tự do $P_n$ ; thực vậy, các phức $\kappa \otimes_A P$ và $\mathrm{Homgr}_A(P, \kappa)$ có vi phân bằng không.

2. Tính các ánh xạ $\mathrm{Tor}^A(g, f)$ và $\mathrm{Ext}_A(f, h)$

Cho $f : M \to M', h : N' \to N$ là các đồng cấu của các $A$ -môđun trái, $g : P \to P'$ là một đồng cấu của các $A$ -môđun phải, $a : R \to M, a' : R' \to M'$ , $b : S \to P, b' : S' \to P'$ , tương ứng là các phân giải trái của $M, M', P, P'$ , $c : N \to E, c' : N' \to E'$ là các phân giải phải của $N$ và $N'$ , $\tilde{f} : R \to R', \tilde{g} : S \to S', \tilde{h} : E' \to E$ là các cấu xạ của các phức sao cho

a' \circ \tilde{f} = f \circ a, \quad b' \circ \tilde{g} = g \circ b, \quad \tilde{h} \circ c' = c \circ h .

Mệnh đề 2

Hai biểu đồ sau là giao hoán*:

\begin{array}{ccc} \mathrm{Tor}^A(P, M) & \xrightarrow{\psi(S, R)} & \mathrm{H}(S \otimes_A R) \\ \mathrm{Tor}^A(g, f) \downarrow & & \downarrow \mathrm{H}(\tilde{g} \otimes \tilde{f}) \\ \mathrm{Tor}^A(P', M') & \xrightarrow{\psi(S', R')} & \mathrm{H}(S' \otimes_A R') , \end{array}

\begin{array}{ccc} \mathrm{H}(\mathrm{Homgr}_A(R', E')) & \xrightarrow{\varphi(R', E')} & \mathrm{Ext}_A(M', N') \\ \mathrm{H}(\mathrm{Homgr}_A(\tilde{f}, \tilde{h})) \downarrow & & \downarrow \mathrm{Ext}_A(f, h) \\ \mathrm{H}(\mathrm{Homgr}_A(R, E)) & \xrightarrow{\varphi(R, E)} & \mathrm{Ext}_A(M, N) . \end{array}

Cho $\alpha : L(M) \to R, \alpha' : L(M') \to R', \gamma : L(P) \to S, \gamma' : L(P') \to S'$ là các cấu xạ của các phức sao cho

a \circ \alpha = p_M, \quad a' \circ \alpha' = p_{M'}, \quad b \circ \gamma = p_P, \quad b' \circ \gamma' = p_{P'} .

Theo định nghĩa, $\mathrm{H}(\tilde{g} \otimes \tilde{f}) \circ \psi(S, R)$ bằng

\mathrm{H}(\tilde{g} \otimes \tilde{f}) \circ \mathrm{H}(\gamma \otimes \alpha) = \mathrm{H}((\tilde{g} \circ \gamma) \otimes (\tilde{f} \circ \alpha)) ,

trong khi $\psi(S', R') \circ \mathrm{Tor}^A(g, f)$ bằng

\mathrm{H}(\gamma' \otimes \alpha') \circ \mathrm{H}(L(g) \otimes L(f)) = \mathrm{H}((\gamma' \circ L(g)) \otimes (\alpha' \circ L(f))) .

Mặt khác, $\alpha' \circ L(f)$ và $\tilde{f} \circ \alpha$ là hai cấu xạ từ $L(M)$ vào $R'$ sao cho $a' \circ (\alpha' \circ L(f)) = p_{M'} \circ L(f) = f \circ p_M = f \circ a \circ \alpha = a' \circ (\tilde{f} \circ \alpha)$ . Theo X, p. 49, prop. 3, $\alpha' \circ L(f)$ và $\tilde{f} \circ \alpha$ đồng luân; tương tự $\gamma' \circ L(g)$ và $\tilde{g} \circ \gamma$ đồng luân, và do đó $(\gamma' \circ L(g)) \otimes (\alpha' \circ L(f))$ và $(\tilde{g} \circ \gamma) \otimes (\tilde{f} \circ \alpha)$ cũng đồng luân theo prop. 3 của X, p. 64. Vậy nên

H(\tilde{g} \otimes \tilde{f}) \circ \psi(S, R) = H((\tilde{g} \circ \gamma) \otimes (\tilde{f} \circ \alpha)) = H((\gamma' \circ L(g)) \otimes (\alpha' \circ L(f)))

= \psi(S', R') \circ \mathrm{Tor}^A(g, f) .

Ta lập luận tương tự đối với biểu đồ thứ hai.

Nhận xét

Tương tự, xét các biểu đồ giao hoán của các cấu xạ của các phức

\begin{array}{ccc} R_1 & \xrightarrow{a_1} & M \\ \tilde{f} \downarrow & & \downarrow f \\ R'_1 & \xrightarrow{a'_1} & M' \end{array}

\begin{array}{ccc} S_1 & \xrightarrow{b_1} & P \\ \tilde{g} \downarrow & & g \downarrow \\ S'_1 & \xrightarrow{b'_1} & P' \end{array}

\begin{array}{ccc} N' & \xrightarrow{c'_1} & E' \\ h \downarrow & & \tilde{h} \downarrow \\ N & \xrightarrow{c_1} & E_1 \end{array}

trong đó các phức $R_1, R'_1, S_1, S'_1$ là xạ ảnh và không ở bên phải, và các phức $E_1, E'_1$ là đơn ánh và không ở bên trái. Khi đó

\mathrm{Tor}^A(g, f) \circ \psi'(S_1, R_1) = \psi'(S'_1, R'_1) \circ H(\tilde{g} \otimes \tilde{f})

\varphi'(R_1, E_1) \circ \mathrm{Ext}_A(f, h) = H(\mathrm{Homgr}_A(\tilde{f}, \tilde{h})) \circ \varphi'(R'_1, E'_1)

như được chứng minh tương tự như mệnh đề 2.

3. Tính toán các đồng cấu nối kết

Xét một biểu đồ giao hoán

(1)

\begin{array}{ccccccccc} 0 & \longrightarrow & R' & \xrightarrow{\tilde{u}} & R & \xrightarrow{\tilde{v}} & R'' & \longrightarrow & 0 \\ & & a' \downarrow & & a \downarrow & & a'' \downarrow & & \\ 0 & \longrightarrow & M' & \xrightarrow{u} & M & \xrightarrow{v} & M'' & \longrightarrow & 0 \end{array}

(2)

trong đó hàng thứ nhất (1) là một dãy khớp của các phức các A-môđun trái, hàng thứ hai (2) là một dãy khớp các A-môđun trái, và các mũi tên thẳng đứng là các phân giải trái.

Mệnh đề 3

a) Cho $P$ là một A-môđun, $b : S \to P$ là một phân giải trái của $P$ ; giả sử rằng dãy các phức các k-môđun

(3)

0 \to S \otimes_A R' \xrightarrow{1_S \otimes \tilde{u}} S \otimes_A R \xrightarrow{1_S \otimes \tilde{v}} S \otimes_A R'' \to 0

là khớp. Khi đó biểu đồ sau là giao hoán:

\begin{array}{ccc} \operatorname{Tor}^{A}(P,M'')&\xrightarrow{\partial(P,(2))}&\operatorname{Tor}^{A}(P,M')\\ \Big\downarrow\vcenter{\rlap{$\psi(S,R'')$}}&&\Big\downarrow\vcenter{\rlap{$\psi(S,R')$}}\\ H(S\otimes_A R'')&\xrightarrow{\partial(3)}&H(S\otimes_A R'). \end{array}

b) Cho $N$ là một A-môđun trái, $c:N\to E$ là một phân giải phải của $N$ ; giả sử rằng dãy các phức các $k$ -môđun

(4)

0\longrightarrow \operatorname{Homgr}_A(R'',E) \xrightarrow{\operatorname{Homgr}_A(\tilde{\imath},1)} \operatorname{Homgr}_A(R,E) \xrightarrow{\operatorname{Homgr}_A(\tilde{u},1)} \operatorname{Homgr}'_A(R',E)\longrightarrow 0

là khớp. Khi đó biểu đồ sau là giao hoán:

\begin{array}{ccc} H(\operatorname{Homgr}_A(R',E)) &\xrightarrow{\delta((4))} &H(\operatorname{Homgr}_A(R'',E)) \\ \Big\downarrow\vcenter{\rlap{$\varphi(R',E)$}} && \Big\downarrow\vcenter{\rlap{$\varphi(R'',E)$}} \\ \operatorname{Ext}_A(M',N) &\xrightarrow{\partial((2),N)} &\operatorname{Ext}_A(M'',N). \end{array}

Chẳng hạn, ta hãy chứng minh a). Cho $\beta:L(P)\to S$ là một cấu xạ các phức sao cho $t\circ\beta=p_P$ ; xét biểu đồ các k-phức

\begin{array}{ccccccccc} 0&\longrightarrow&S\otimes_A R'&\xrightarrow{1\otimes\tilde{u}}&S\otimes_A R&\xrightarrow{1\otimes\tilde{v}}&S\otimes_A R''&\longrightarrow&0\\ &&\Big\uparrow\vcenter{\rlap{$\beta\otimes1_R$}}&&\Big\uparrow\vcenter{\rlap{$\beta\otimes1_R$}}&&\Big\uparrow\vcenter{\rlap{$\beta\otimes1_{R'}$}}&&\\ 0&\longrightarrow&L(P)\otimes_A R'&\xrightarrow{1\otimes\tilde{u}}&L(P)\otimes_A R&\xrightarrow{1\otimes\tilde{v}}&L(P)\otimes_A R''&\longrightarrow&0\\ &&\Big\downarrow\vcenter{\rlap{$1\otimes a'$}}&&\Big\downarrow\vcenter{\rlap{$1\otimes a$}}&&\Big\downarrow\vcenter{\rlap{$1\otimes a''$}}&&\\ 0&\longrightarrow&L(P)\otimes_A M'&\xrightarrow{1\otimes u}&L(P)\otimes_A M&\xrightarrow{1\otimes v}&L(P)\otimes_A M''&\longrightarrow&0. \end{array}

Đây là một biểu đồ giao hoán với các hàng khớp (do giả thiết đối với hàng thứ nhất, và do việc $L(P)$ là phẳng đối với hai hàng còn lại). Do đó ta có một biểu đồ giao hoán (X, p. 31, mệnh đề 2, và X, p. 72, định nghĩa 2)

\begin{array}{ccc} H(S\otimes_A R'')&\xrightarrow{\partial(3)}&H(S\otimes_A R')\\ \Big\uparrow\vcenter{\rlap{$H(\beta\otimes1)$}}&&\Big\uparrow\vcenter{\rlap{$H(\beta\otimes1)$}}\\ H(L(P)\otimes_A R'')&\longrightarrow&H(L(P)\otimes_A R')\\ \Big\downarrow\vcenter{\rlap{$H(1\otimes a'')$}}&&\Big\downarrow\vcenter{\rlap{$H(1\otimes a')$}}\\ H(L(P)\otimes_A M'')&\longrightarrow&H(L(P)\otimes_A M')\\ \Big\uparrow\vcenter{\rlap{$\psi_P(M'')$}}&&\Big\uparrow\vcenter{\rlap{$\psi_P(M')$}}\\ \operatorname{Tor}(P,M'')&\xrightarrow{\partial(P,(2))}&\operatorname{Tor}(P,M'). \end{array}

Theo X, p. 67, mệnh đề 4, H(1 ⊗ a'') và H(1 ⊗ a') là song ánh; mặt khác, theo định nghĩa của các đồng cấu ψ, ta có H(β ⊗ 1) ◦ ψ(L(P), R'') = ψ(S, R'') và H(1 ⊗ a'') ◦ ψ(L(P), R'') = ψ(L(P), M'') = ψ_p(M''), do đó

\psi(S, R'') = H(\beta \otimes 1) ◦ H(1 \otimes a'')^{-1} ◦ \psi_p(M'');

tương tự, $\psi(S, R') = H(\beta \otimes 1) ◦ H(1 \otimes a')^{-1} ◦ \psi_p(M')$ , và mệnh đề cần chứng minh $\partial((3)) ◦ \psi(S, R'') = \psi(S, R') ◦ \partial(P, (2))$ suy ra từ tính giao hoán của biểu đồ trên.

Nhận xét 1

Dùng các đẳng cấu giao hoán, suy ra từ a) mệnh đề tương tự thu được bằng cách đổi vai trò của hai đối số của tích tenxơ.

Nhận xét 2

Với các ký hiệu của a), giả sử hoặc S là phẳng, hoặc R, R', R'' là phẳng; khi đó một mặt dãy (3) là khớp (X, p. 72, hệ quả 2) và có thể áp dụng mệnh đề 3; mặt khác $\psi(S, R')$ là song ánh (định lý 1), do đó

\partial(P, (2)) = \psi(S, R')^{-1} ◦ \partial((3)) ◦ \psi(S, R'').

Nhận xét 3

Với các ký hiệu của b), giả sử hoặc E là đơn ánh, hoặc R, R', R'' là xạ ảnh; khi đó một mặt dãy (4) là khớp (X, p. 83, mệnh đề 2) và có thể áp dụng mệnh đề 3; mặt khác, $\varphi(R', E)$ là song ánh (định lý 1) ; do đó

\delta((2), N) = \varphi(R'', E) ◦ \partial((4)) ◦ \varphi(R', E)^{-1}.

Bây giờ xét một biểu đồ giao hoán

(5)

\begin{array}{ccccccccc} 0 & \rightarrow & N' & \xrightarrow{r} & N & \xrightarrow{s} & N'' & \rightarrow & 0 \\ & & c' & & & & c'' & & \end{array}

(6)

\begin{array}{ccccccccc} 0 & \rightarrow & E' & \xrightarrow{\tilde{r}} & E & \xrightarrow{\tilde{s}} & E'' & \rightarrow & 0 \end{array}

trong đó hàng thứ nhất (5) là một dãy khớp các A-môđun trái, hàng thứ hai (6) là một dãy khớp các phức của các A-môđun trái, và trong đó các mũi tên thẳng đứng là các phân giải phải. Lập luận như trong Mệnh đề 3, ta chứng minh mệnh đề sau:

Mệnh đề 4

Cho M là một A-môđun trái, $a : R \to M$ là một phân giải trái của M sao cho dãy

(7)

0 \rightarrow \mathrm{Homgr}_A(R, E') \xrightarrow{\mathrm{Homgr}(\tilde{s}, 1)} \mathrm{Homgr}_A(R, E) \xrightarrow{\mathrm{Homgr}(\tilde{r}, 1)} \mathrm{Homgr}_A(R, E'') \rightarrow 0

là khớp. Khi đó biểu đồ sau là giao hoán.

\begin{array}{ccc} \mathrm{H}(\mathrm{Homgr}_A(R, E'')) & \xrightarrow{\partial((7))} & \mathrm{H}(\mathrm{Homgr}_A(R, E')) \\ \varphi(R, E'') \downarrow & & \downarrow \varphi(R, E') \\ \mathrm{Ext}_A(M, N'') & \xrightarrow{\delta(M, (5))} & \mathrm{Ext}_A(M, N') \end{array}

Nhận xét 4

Nếu R là xạ ảnh hoặc nếu E, E', E'' là đơn ánh, thì dãy (7) là khớp ( $\lambda$ , p. 83, Mệnh đề 2); hơn nữa, $\varphi(R, E'')$ là song ánh (Định lý 1); do đó

\delta(M, (5)) = \varphi(R, E') \circ \partial((7)) \circ \varphi(R, E'')^{-1}.

Nhận xét 5

Chúng tôi để bạn đọc phát biểu và chứng minh các mệnh đề tương tự với các Mệnh đề 3 và 4 và liên quan đến các đồng cấu $\psi_1$ và $\varphi_1$ .

4. Tính hữu hạn của các môđun mở rộng và xoắn

Cho M là một A-môđun trái, I là một tập tiền thứ tự lọc, $(N_i, u_{ji})$ là một hệ quy nạp các A-môđun trái đối với I, $N = \lim N_i$ là giới hạn quy nạp của nó, $u_i : N_i \to N,\ i \in I$ , là ánh xạ chính tắc. Khi đó $(\mathrm{Ext}_A(M, N_i), \mathrm{Ext}_A(l_M, u_{ji}))$ là một hệ quy nạp các $k$ -môđun và $(\mathrm{Ext}_A(l_M, u_i))$ là một hệ quy nạp các ánh xạ, mà giới hạn quy nạp là một đồng cấu của các $k$ -môđun phân bậc, gọi là chính tắc

\lim_{i \in I} \mathrm{Ext}_A(M, N_i) \to \mathrm{Ext}_A(M, \lim_{i \in I} N_i).

Mệnh đề 5

Nếu A là Noether trái và nếu M là một A-môđun hữu hạn sinh, thì đồng cấu chính tắc (8) là song ánh.

Thật vậy, theo (X, p. 53, Mệnh đề 6), gọi $p : L \to M$ là một phân giải tự do của M sao cho $L_n$ là kiểu hữu hạn với mỗi $n$ . Cấu xạ chính tắc của các $k$ -phức

u : \lim \mathrm{Homgr}_A(L, N_i) \to \mathrm{Homgr}_A(L, \lim N_i)

là song ánh, do đó đồng cấu

\lim \mathrm{H}(\mathrm{Homgr}_A(L, N_i)) \to \mathrm{H}(\mathrm{Homgr}_A(L, \lim N_i))

suy ra từ các đồng cấu $\mathrm{H}(\mathrm{Homgr}(l, u_i))$ cũng vậy (X, p. 28, Mệnh đề 1). Sau đó ta kết luận nhờ Mệnh đề 2 (X, p. 103) và Định lý 1 (X, p. 100).

Mệnh đề 6

Cho B là một vành và N là một song môđun (A, B), là một B-môđun Noether (resp. có độ dài hữu hạn).

a) Giả sử A Noether phải và cho M là một A-môđun phải hữu hạn sinh. Khi đó các B-môđun (X, p. 81) $\mathrm{Tor}_n^A(M, N)$ là Noether (resp. có độ dài hữu hạn).

b) Giả sử A Noether trái và cho M là một A-môđun trái hữu hạn sinh. Khi đó các B-môđun (X, p. 98) $\mathrm{Ext}_A^n(M, N)$ là Noether (resp. có độ dài hữu hạn).

Chọn một phân giải tự do $p : L \to M$ sao cho mỗi A-môđun $L_n$ là kiểu hữu hạn (X, p. 53, Mệnh đề 6), và gọi C là phức các B-môđun $L \otimes_A N$ trong trường hợp $a$ , $\mathrm{Homgr}_A(L, N)$ trong trường hợp $b$ . Mỗi B-môđun $C_n$ đẳng cấu với một tích của một số hữu hạn bản sao của N, nên là Noether (resp. có độ dài hữu hạn); vì vậy điều tương tự cũng đúng đối với các môđun $\mathrm{H}_n(C)$ . Nhưng, theo X, p. 100, Định lý 1, các môđun này đẳng cấu với các $\mathrm{Tor}_n^A(M, N)$ trong trường hợp $a$ , với các $\mathrm{Ext}_A^{-n}(M, N)$ trong trường hợp $b$ .

Hệ quả

Cho $\rho : A \to B$ là một đồng cấu của các vành giao hoán Noether, $M$ là một $A$ -môđun hữu hạn sinh, $N$ là một $B$ -môđun. Nếu $N$ là một $B$ -môđun hữu hạn sinh (resp. có độ dài hữu hạn), thì điều tương tự cũng đúng đối với các $B$ -môđun $\operatorname{Tor}^{A}_{n}(M,N)$ và $\operatorname{Ext}^{n}_{A}(M,N)$ .

5. Các đồng cấu $\operatorname{Tor}^{B}(P,N) \otimes_{A} Q \to \operatorname{Tor}^{B}(P,N \otimes_{A} Q)$ và $\operatorname{Ext}_{B}(M,N) \otimes_{A} Q \to \operatorname{Ext}_{B}(M,N \otimes_{A} Q)$

Cho $B$ là một vành, $N$ là một song môđun $(B,A)$ , $M$ là một $B$ -môđun trái, $P$ là một $B$ -môđun phải, $Q$ là một $A$ -môđun trái. Theo X, p. 62, ta có một đồng cấu

\gamma_{1} : H(L(P) \otimes_{B} N) \otimes_{A} Q \to H(L(P) \otimes_{B} N \otimes_{A} Q) \,;

hơn nữa (X, p. 69, Mệnh đề 5), ta có các đẳng cấu

\psi_{1}(N) : \operatorname{Tor}^{B}(P,N) \otimes_{A} Q \to H(L(P) \otimes_{B} N) \otimes_{A} Q \,,

\psi_{1}(N \otimes_{A} Q) : \operatorname{Tor}^{B}(P,N \otimes_{A} Q) \to H(L(P) \otimes_{B} N \otimes_{A} Q) \,.

Đồng cấu phân bậc bậc 0, gọi là chính tắc

(9)

\operatorname{Tor}^{B}(P,N) \otimes_{A} Q \to \operatorname{Tor}^{B}(P,N \otimes_{A} Q)

được định nghĩa là hợp thành $\psi_{P}(N \otimes_{A} Q)^{-1} \circ \gamma_{1} \circ (\psi_{P}(N) \otimes 1_{Q})$ .

Tương tự, từ cấu xạ chính tắc của các phức

\alpha : \operatorname{Homgr}_{B}(L(M),N) \otimes_{A} Q \to \operatorname{Homgr}_{B}(L(M),N \otimes_{A} Q)

suy ra một đồng cấu $H(\alpha)$ ; ta có đồng cấu chính tắc (X, p. 62)

\gamma_{2} : H(\operatorname{Homgr}_{B}(L(M),N)) \otimes_{A} Q \to H(\operatorname{Homgr}_{B}(L(M),N \otimes_{A} Q)) \,,

và các đẳng cấu (X, p. 88, mệnh đề 5)

\varphi_{M}(N) : H(\operatorname{Homgr}_{B}(L(M),N)) \otimes_{A} Q \to \operatorname{Ext}_{B}(M,N) \otimes_{A} Q \,,

\varphi_{M}(N \otimes_{A} Q) : H(\operatorname{Homgr}_{B}(L(M),N \otimes_{A} Q)) \to \operatorname{Ext}_{B}(M,N \otimes_{A} Q) \,.

Đồng cấu phân bậc bậc 0, gọi là chính tắc

(10)

\operatorname{Ext}_{B}(M,N) \otimes_{A} Q \to \operatorname{Ext}_{B}(M,N \otimes_{A} Q)

được định nghĩa là hợp thành

\varphi_{M}(N \otimes_{A} Q) \circ H(\alpha) \circ (\varphi_{M}(N) \otimes 1_{Q})^{-1} \,.

Mệnh đề 7

a) Nếu $A$ -môđun $Q$ là phẳng thì đồng cấu (9) là song ánh. b) Nếu $A$ -môđun $Q$ là xạ ảnh sinh hữu hạn thì đồng cấu (10) là song ánh.

c) Nếu $A$ -môđun $Q$ là phẳng, vành $B$ là Noether và $B$ -môđun $M$ sinh hữu hạn thì đồng cấu (10) là song ánh.

a) Nếu $Q$ là phẳng thì $\gamma_1$ là song ánh ( $X$ , p. 66, hệ quả 2).

b) Nếu $Q$ là xạ ảnh sinh hữu hạn thì nó phẳng, do đó $\gamma_2$ là song ánh, và hơn nữa $\alpha$ là song ánh (II, p. 75, mệnh đề 2, a)).

c) Dưới các giả thiết của c), $\gamma_2$ là song ánh vì $Q$ phẳng. Hơn nữa ( $X$ , p. 53, mệnh đề 6), tồn tại một phân giải $L$ của $M$ sao cho mỗi $L_n$ là tự do sinh hữu hạn; gọi $u : L(M) \to L$ là một đồng luân cấu xạ ( $X$ , p. 49, hệ quả của mệnh đề 3); trong biểu đồ giao hoán,

\begin{array}{ccc} \mathrm{Homgr}_B(L(M), N) \otimes_A Q & \xrightarrow{\alpha} & \mathrm{Homgr}_B(L(M), N \otimes_A Q) \\ \uparrow & & \uparrow \\ \mathrm{Homgr}_B(L, N) \otimes_A Q & \xrightarrow{\bar{\alpha}} & \mathrm{Homgr}_B(L, N \otimes_A Q). \end{array}

các mũi tên thẳng đứng suy ra từ $u$ là các đồng luân cấu xạ ( $X$ , p. 64, mệnh đề 3 và p. 83, mệnh đề 3) và $\bar{\alpha}$ là song ánh (II, p. 75, mệnh đề 2 (ii)); do đó $H(\alpha)$ là song ánh, và đồng cấu (10) là song ánh.

6. Các đồng cấu $\mathrm{Tor}^B(P, N \otimes_A Q) \to \mathrm{Tor}^A(P \otimes_B N, Q)$ và $\mathrm{Ext}_A(Q, \mathrm{Hom}_B(N, M)) \to \mathrm{Ext}_B(N \otimes_A Q, M)$

Giữ các ký hiệu trước đây, và giả sử rằng $N$ phẳng trên $A$ . Khi đó cấu xạ $N \otimes_A L(Q) \xrightarrow{1 \otimes p_Q} N \otimes_A Q$ là một đồng điều cấu xạ ( $X$ , p. 67, mệnh đề 4), do đó có các đồng cấu

\psi(P, N \otimes_A L(Q)) : \mathrm{Tor}^B(P, N \otimes_A Q) \to H(P \otimes_B N \otimes_A L(Q))

\varphi(N \otimes_A L(Q), M) : H(\mathrm{Homgr}_B(N \otimes_A L(Q), M)) \to \mathrm{Ext}_B(N \otimes_A Q, M).

Khi đó dùng các đẳng cấu

\overline{\psi}_Q(P \otimes_B N) : \mathrm{Tor}^A(P \otimes_B N, Q) \to H(P \otimes_B N \otimes_A L(Q)),

\beta : \mathrm{Homgr}_A(L(Q), \mathrm{Hom}_B(N, M)) \to \mathrm{Homgr}_B(N \otimes_A L(Q), M),

\varphi_Q(\mathrm{Hom}_B(N, M)) : H(\mathrm{Homgr}_A(L(Q), \mathrm{Hom}_B(N, M))) \to \mathrm{Ext}_A(Q, \mathrm{Hom}_B(N, M)),

ta suy ra từ chúng các đồng cấu phân bậc bậc 0 gọi là chính tắc:

(11)

\mathrm{Tor}^B(P, N \otimes_A Q) \to \mathrm{Tor}^A(P \otimes_B N, Q)

(12)

\mathrm{Ext}_A(Q, \mathrm{Hom}_B(N, M)) \to \mathrm{Ext}_B(N \otimes_A Q, M).

Mệnh đề 8

a)* Nếu $N$ phẳng trên $A$ và trên $B$ thì đồng cấu (11) là song ánh.

b) Nếu $N$ phẳng trên $A$ và xạ ảnh trên $B$ thì đồng cấu (12) là song ánh.

Thật vậy $N \otimes_A L(Q)$ đẳng cấu với một tổng trực tiếp các bản sao của $N$ , do đó là một $B$ -môđun phẳng (resp. xạ ảnh) khi $B$ -môđun $N$ là phẳng (resp. xạ ảnh); khi đó áp dụng Định lý 1 (X, p. 100).

7. Các đồng cấu $B \otimes_A \mathrm{Tor}^A(E, F) \to \mathrm{Tor}^B(E \otimes_A B, B \otimes_A F)$ và $B \otimes_A \mathrm{Ext}_A(E, F) \to \mathrm{Ext}_B(B \otimes_A E, B \otimes_A F)$

Trong số này, ta giả sử rằng $A$ là giao hoán; cho một đồng cấu vành $\rho : A \to B$ sao cho $\rho(A)$ được chứa trong tâm của $B$ và hai $A$ -môđun $E$ và $F$ . Có một đẳng cấu chính tắc của các phức $A$ -môđun

u : B \otimes_A (L(E) \otimes_A L(F)) \to (L(E) \otimes_A B) \otimes_B (B \otimes_A L(F));

mặt khác, vì $L(E) \otimes_A B$ và $B \otimes_A L(F)$ là các $B$ -phức tự do, nên có một đồng cấu chính tắc của các $A$ -môđun phân bậc (X, p. 102)

\psi'(L(E) \otimes_A B, B \otimes_A L(F)) : H((L(E) \otimes_A B) \otimes_B (B \otimes_A L(F)))

\to \mathrm{Tor}^B(E \otimes_A B, B \otimes_A F)

sau hết, có một đồng cấu (X, p. 62)

\gamma : B \otimes_A \mathrm{Tor}^A(E, F) \to H(B \otimes_A L(E) \otimes_A L(F)).

Đồng cấu chính tắc của các $B$ -môđun phân bậc

(13)

B \otimes_A \mathrm{Tor}^A(E, F) \to \mathrm{Tor}^B(E \otimes_A B, B \otimes_A F)

được định nghĩa là hợp thành $\psi'(L(E) \otimes_A B, B \otimes_A L(F)) \circ H(u) \circ \gamma$ .

Mệnh đề 9

Nếu $B$ phẳng trên $A$ , thì đồng cấu (13) là song ánh.* Thật vậy $\psi'(L(E) \otimes_A B, B \otimes_A L(F))$ là song ánh (X, p. 102, prop. 1) và $\gamma$ là song ánh (X, p. 66, hệ quả 2).

Giả sử $B$ phẳng trên $A$ . Thay $E$ cho $Q$ , $B$ cho $N$ và $B \otimes_A F$ cho $M$ trong đồng cấu (12), ta thu được một đồng cấu

\mathrm{Ext}_A(E, B \otimes_A F) \to \mathrm{Ext}_B(B \otimes_A E, B \otimes_A F)

đồng cấu này là song ánh theo Mệnh đề 8. Thay $E$ cho $M$ , $F$ cho $N$ , $A$ cho $B$ , $B$ cho $Q$ , trong đồng cấu (10), và đổi chỗ các thừa số trong các tích tenxơ, ta thu được một đồng cấu của các $B$ -môđun

B \otimes_A \mathrm{Ext}_A(E, F) \to \mathrm{Ext}_A(E, B \otimes_A F),

do đó, bằng hợp thành, một đồng cấu gọi là *chính tắc

(14)

B \otimes_A \mathrm{Ext}_A(E, F) \to \mathrm{Ext}_B(B \otimes_A E, B \otimes_A F).

Mệnh đề 10

Đồng cấu (14) là song ánh trong các trường hợp sau: a) B là một A-môđun xạ ảnh sinh hữu hạn; b) B là một A-môđun phẳng, A là Noether, và E là một A-môđun hữu hạn sinh. Điều này suy ra từ Mệnh đề 7 (X, p. 108).

8. Ứng dụng: đồng điều và đối đồng điều của nhóm

Cho G là một nhóm, $\mathbf{Z}^{(G)}$ đại số của nó trên $\mathbf{Z}$ (III, p. 19). Nhắc lại (x. III, p. 20, ví dụ) rằng nếu M là một nhóm giao hoán, thì việc cho một tác động của G trên M (nghĩa là một đồng cấu $\tau : G \to \mathrm{Aut}(M)$ ), hay một cấu trúc môđun trái trên $\mathbf{Z}^{(G)}$ cho nhóm cộng M, là như nhau. Đặc biệt, ta sẽ coi nhóm $\mathbf{Z}$ như một môđun trái trên $\mathbf{Z}^{(G)}$ bằng cách trang bị cho nó tác động tầm thường.

Định nghĩa 1

Cho M là một $\mathbf{Z}^{(G)}$ -môđun trái (tương ứng phải), $n$ là một số nguyên $\geqslant 0$ . Nhóm $\mathrm{Ext}_{\mathbf{Z}^{(G)}}^n(\mathbf{Z}, M)$ (tương ứng $\mathrm{Tor}_n^{\mathbf{Z}^{(G)}}(M, \mathbf{Z})$ ) được ký hiệu bởi $H^n(G, M)$ (tương ứng $H_n(G, M)$ ) và được gọi là nhóm đối đồng điều thứ $n$ (tương ứng nhóm đồng điều) của G với hệ số trong M.

Phân giải tiêu chuẩn (X, p. 58) $B(\mathbf{Z}^{(G)}, \mathbf{Z})$ là một phân giải tự do của $\mathbf{Z}^{(G)}$ -môđun $\mathbf{Z}$ ; suy ra rằng các nhóm $H^n(G, M)$ (tương ứng $H_n(G, M)$ ) được đồng nhất với các nhóm đồng điều của phức:

\mathrm{Hom}_{\mathbf{Z}^{(G)}}(B(\mathbf{Z}^{(G)}, \mathbf{Z}), M) \quad (\text{resp. } M \otimes_{\mathbf{Z}^{(G)}} B(\mathbf{Z}^{(G)}, \mathbf{Z})) .

Dùng đẳng cấu chính tắc của $(\mathbf{Z}^{(G)})^{\otimes n}$ lên $\mathbf{Z}^{(G^n)}$ (III, p. 36) và các tính chất của mở rộng vô hướng (II, p. 82), ta suy ra rằng $H^n(G, M)$ đẳng cấu chính tắc với nhóm đồng điều bậc tăng $n$ của phức $C(G, M)$ được xác định như sau: $C^n(G, M) = 0$ với $n < 0$ ; với $n \geqslant 0$ , $C^n(G, M)$ là $\mathbf{Z}$ -môđun các ánh xạ từ $G^n$ vào M; với $n \geqslant 0$ , vi phân $d^n : C^n(G, M) \to C^{n+1}(G, M)$ được cho bởi

(d^n f)(g_0, ..., g_n) = g_0 \cdot f(g_1, ..., g_n) + \sum_{i=0}^{n-1} (-1)^{i+1} f(g_0, ..., g_i g_{i+1}, ..., g_n)

+ (-1)^{n+1} f(g_0, ..., g_{n-1})

với mọi $f$ trong $C^n(G, M)$ và $g_0, ..., g_n$ trong G.

Tương tự, $H_n(G, M)$ được đồng nhất với nhóm đồng điều bậc $n$ của phức $C'(G, M)$ , trong đó $C'_n(G, M) = M \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Z}^{(G^n)}$ với $n \geqslant 0$ , $C'_n(G, M) = 0$ với $n < 0$ , vi phân $d_n : C'_n(G, M) \to C'_{n-1}(G, M)$ được xác định bởi:

d_n(m \otimes e_{g_1, ..., g_n}) = m \cdot g_1 \otimes e_{g_2, ..., g_n} + \sum_{i=1}^{n-1} (-1)^i m \otimes e_{g_1, ..., g_i g_{i+1}, ..., g_n}

+ (-1)^n m \otimes e_{g_1, ..., g_{n-1}}

với mọi $n \geqslant 1$ , $m$ trong M và $g_1, ..., g_n$ trong G.

Ví dụ 1

Từ định nghĩa suy ra trực tiếp rằng $H^0(G, M)$ đẳng cấu với môđun con các phần tử của $M$ bất biến dưới tác động của $G$ , và $H_0(G, M)$ đẳng cấu với môđun thương của $M$ theo môđun con sinh bởi các phần tử $m.g-m$ với $m\in M$ , $g\in G$ .

Ví dụ 2

Từ điều trên suy ra rằng $H^1(G, M)$ đẳng cấu với $\mathbf{Z}$ -môđun $Z^1(G, M)/B^1(G, M)$ , trong đó $Z^1(G, M)$ là $\mathbf{Z}$ -môđun các ánh xạ $f$ từ $G$ vào $M$ thỏa mãn:

f(g_1,g_2)=g_1.f(g_2)+f(g_1)\quad\text{với mọi }g_1,g_2\text{ trong }G,

và $B^1(G, M)$ là môđun con trên $\mathbf{Z}$ của $Z^1(G, M)$ gồm các $f$ sao cho tồn tại một phần tử $m$ của $M$ thỏa mãn:

f(g)=g.m-m\quad\text{với mọi }g\in G.

Đôi khi người ta nói rằng $Z^1(G, M)$ là $\mathbf{Z}$ -môđun của các đồng cấu chéo từ $G$ vào $M$ , và $B^1(G, M)$ là môđun con của các đồng cấu chéo chính.

Ký hiệu bởi $\iota:G\to \operatorname{Aut}(M)$ đồng cấu suy ra từ tác động của $G$ ; xét tích nửa trực tiếp ngoài $M\times_{\iota}G$ và mở rộng $\xi_{\iota}:M\times_{\iota}G\to G$ (I, p. 64). Cho $e:G\to M\times_{\iota}G$ là một ánh xạ sao cho $\rho\circ e=1_G$ ; ta có $e=(f,1_G)$ , trong đó $f\in C^1(G,M)$ . Để $e$ là một đồng cấu (nghĩa là, một tiết diện của mở rộng $\xi_{\iota}$ ), điều kiện cần và đủ là $f\in Z^1(G,M)$ . Để hai tiết diện của $\xi_{\iota}$ liên hợp với nhau bởi một phần tử của $i(M)$ , điều kiện cần và đủ là các đồng cấu chéo tương ứng có cùng lớp trong $H^1(G,M)$ .

Khi $G$ tác động tầm thường trên $M$ , ta có $B^1(G,M)=0$ và $H^1(G,M)$ đẳng cấu với $\mathbf{Z}$ -môđun các đồng cấu nhóm từ $G$ vào $M$ .

Ví dụ 3

Tương tự, $H^2(G,M)$ đẳng cấu với $\mathbf{Z}$ -môđun $Z^2(G,M)/B^2(G,M)$ , trong đó $Z^2(G,M)$ là $\mathbf{Z}$ -môđun các ánh xạ $f$ từ $G\times G$ vào $M$ , thỏa mãn:

g_1.f(g_2,g_3)-f(g_1g_2,g_3)+f(g_1,g_2g_3)-f(g_1,g_2)=0

với mọi $g_1,g_2,g_3$ trong $G$ , và $B^2(G,M)$ là môđun con trên $\mathbf{Z}$ của $Z^2(G,M)$ gồm các $f$ sao cho tồn tại một ánh xạ $h$ từ $G$ vào $M$ thỏa mãn:

f(g_1,g_2)=g_1.h(g_2)-h(g_1g_2)+h(g_1)

với mọi $g_1,g_2$ trong $G$ .

Như vậy ta thu lại định nghĩa của nhóm $H^2(G,M)$ đã cho trong VIII, App. II; đặc biệt, tồn tại một đẳng cấu chính tắc từ $H^2(G,M)$ lên nhóm các lớp mở rộng của $G$ bởi $M$ (loc. cit.).

Ví dụ 4

Cho $M$ là một $\mathbf{Z}$ -môđun, được xét như một $\mathbf{Z}^{(G)}$ -môđun phải bằng cách cho $G$ tác động tầm thường. Nhóm $H_1(G,M)$ đẳng cấu với thương của $M\otimes_{\mathbf{Z}}\mathbf{Z}^{(G)}$ bởi môđun con- $\mathbf{Z}$ sinh bởi các phần tử $m\otimes(e_{g_1g_2}-e_{g_1}-e_{g_2})$ với $m$ trong $M$ , $g_1,g_2$ trong $G$ ; suy ra dễ dàng rằng $H_1(G,M)$ đẳng cấu với $M\otimes_{\mathbf{Z}}(G/(G,G))$ .

Kí hiệu $\sigma$ là phản tự đẳng cấu của $\mathbf{Z}^{(G)}$ được định nghĩa bởi $\sigma(e_g) = e_{g^{-1}}$ với $g \in G$ . Mọi $\mathbf{Z}^{(G)}$ -môđun trái đều có thể được xét như một $\mathbf{Z}^{(G)}$ -môđun phải nhờ $\sigma$ , và ngược lại. Điều này cho phép, chẳng hạn, định nghĩa các nhóm $H_q(G, M)$ đối với một $\mathbf{Z}^{(G)}$ -môđun trái $M$ , bằng cách đặt $H_q(G, M) = H_q(G, \sigma_*(M)) = \mathrm{Tor}_q^{\mathbf{Z}^{(G)}}(\mathbf{Z}, M)$ .

Bổ đề 1

Cho $M$ là một $\mathbf{Z}$ -môđun; kí hiệu $M^G$ là nhóm $\mathrm{Hom}_{\mathbf{Z}}(\mathbf{Z}^{(G)}, M)$ được trang bị cấu trúc tự nhiên của $\mathbf{Z}^{(G)}$ -môđun trái. Khi đó:

H^i(G, M^G) = 0 \quad \text{với} \quad i \geqslant 1 .

Thật vậy, từ Mệnh đề 8, b) (X, p. 109), áp dụng với $A = N = \mathbf{Z}^{(G)}$ và $B = Q = \mathbf{Z}$ , suy ra có một đẳng cấu chính tắc:

\mathrm{Ext}_{\mathbf{Z}^{(G)}}(\mathbf{Z}, M^G) \to \mathrm{Ext}_{\mathbf{Z}}(\mathbf{Z}, M)

do đó có bổ đề.

Mệnh đề 11

Cho $L$ là một mở rộng Galois bậc hữu hạn của một trường giao hoán $K$ , với nhóm Galois $G$ . a) Ta có $H^i(G, L) = 0$ với $i \geqslant 1$ . b) Ta có $H^1(G, L^*) = 0$ . c) Nhóm $H^2(G, L^*)$ đẳng cấu chính tắc với nhóm $\mathrm{Br}(K, L)$ (VIII, § 13).

Định lý cơ sở chuẩn tắc (V, §10, No. 9, Định lý 6) cho thấy rằng $L$ đẳng cấu, với tư cách là một $\mathbf{Z}^{(G)}$ -môđun, với $K^G = \mathrm{Hom}_{\mathbf{Z}}(\mathbf{Z}^{(G)}, K)$ ; khi đó mệnh đề a) suy ra từ Bổ đề 1. Theo Ví dụ 2, mệnh đề b) suy ra từ V, §10, No. 5, Hệ quả 1 của Mệnh đề 9: sau cùng, mệnh đề c) đã được chứng minh trong VIII, §13.

Bài tập

Xem các bài tập cho § 6.