Exercice 11, § 6

Algèbre, X, p. 190

Soient $G$ un groupe, $H$ un sous-groupe distingué de $G$ , $M$ un $G$ -module. D’après l’exercice 10, le groupe $G$ agit par conjugaison sur les $\mathbf Z$ -modules $H^q(H,M)$ ; l’action du sous-groupe $H$ étant triviale, ceux-ci sont donc munis d’une structure de $\mathbf Z^{(G/H)}$ -modules.

a) Montrer qu’il existe une suite spectrale $E$ (X, p. 175, exercice 14), convergeant vers $\displaystyle\bigoplus_n H^n(G,M)$ , telle que

E_2^{pq}=H^p(G/H,H^q(H,M))

(considérer la suite spectrale de X, p. 188, exercice 6, d), en tenant compte de l’isomorphisme canonique (12), p. 109).

b) Montrer qu’il existe une suite exacte

0\longrightarrow H^1(G/H,H^0(H,M)) \longrightarrow H^1(G,M) \longrightarrow H^0(G/H,H^1(H,M)) \longrightarrow H^2(G/H,H^0(H,M)) \longrightarrow H^2(G,M).

Décrire les homomorphismes de cette suite en utilisant la description de $H^q(G,M)$ en termes de $C^q(G,M)$ .

c) Définir une suite spectrale analogue à celle de a) pour l’homologie.

Solution

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