Exercice 13, § 6

Algèbre, X, p. 191

Soient G un groupe, H un sous-groupe de G, M un $\mathbf{Z}^{(H)}$ -module à gauche, N un $\mathbf{Z}^{(H)}$ -module à droite. On munit le groupe $\hat{M} = \mathrm{Hom}_{\mathbf{Z}(H)}(\mathbf{Z}^{(G)}, M)$ (resp. $\tilde{N} = N \otimes_{\mathbf{Z}(H)} \mathbf{Z}^{(G)}$ ) de la structure de $\mathbf{Z}^{(G)}$ -module à gauche (resp. à droite) déduite de la structure de $\mathbf{Z}^{(G)}$ -module à droite de $\mathbf{Z}^{(G)}$ .

Soient $m : \hat{M} \to M$ et $n : N \to \tilde{N}$ les $\mathbf{Z}^{(H)}$ -homomorphismes tels que $m(u) = u(1)$ pour $u \in \hat{M}$ et

n(x) = x \otimes 1 \quad \text{pour } x \in N,

et soit

i : H \to G

l’injection canonique. Démontrer que les homomorphismes composés

i^q : H^q(G, \hat{M}) \xrightarrow{i^q} H^q(H, \hat{M}) \xrightarrow{H^q(H, m)} H^q(H, M)

\tilde{i}_q : H_q(H, N) \xrightarrow{H_q(H, n)} H_q(H, \tilde{N}) \xrightarrow{\tilde{i}_q} H_q(G, \tilde{N})

sont des isomorphismes pour tout

q \geqslant 0

Solution

Aucune solution n’a encore été écrite.